A tout point M du plan, d affixe z, l application associe le point f( M) M d affixe z (3 4 i) z 5 z

POUR REVISER LE CONTROLE

DES EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES.

D APRES DES SUJETS DE BAC.

I. Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ^{O u v} ) . L unité graphique est 2 cm.

A tout point M du plan, d affixe z, l application associe le point f( M) M d affixe z (3 4 i) z 5 z

6 .

1. On considère les points A,B ,C,D et E d affixes respectives 1 2i ; 1 ; 3 i ; 2 i et 2 i . a. Déterminer les affixes des points A ,B ,C ,D et E . On écrira les calculs pour les point A et B puis on pourra utiliser la calculatrice pour les autres points.

b. Placer les points A,B ,C,D ,E,A ,B ,C ,D et E . c. Déterminer la nature du quadrilatère ABDC .

d. Quelle est l image du quadrilatère ABDC par f ? Est-ce un parallélogramme ? 2. On pose z x i y avec x et y des réels.

a. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z en fonction de x et y.

b. Déterminer l ensemble des points invariants par f et le construire sur le graphique.

3.

a. Montrer que pour tout nombre complexe z, z z

1 2i = z z 6

i ( ^{z z} )

3 b. Quelle est la nature de z z

1 2 i ?

II. Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O u v ) .

A tout point M du plan, d affixe z, l application associe le point f( M) M d affixe z z² 4 z .

1. Soit I le point d affixe 3. Déterminer les points M tels que OMIM soit un parallélogramme.

2. A et B sont les points d affixes respectives z A 1 i et z B 3 i et J est le point d affixe 2.

a. Calculer les affixes des points A et B , images respectives des points A et B par f.

b. Vérifier que J est le milieu du segment [ AB ].

c. On suppose que deux points ont la même image par f. Démontrer qu ils sont confondus ou

que l un est l image de l autre par une symétrie centrale que l on précisera.

DES EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES.

D APRES DES SUJETS DE BAC.

CORRECTION

I.

1.

a. On obtient z A = 8 3

4 3 i ; z B

4 3

2

3 i ; z C 2 i ; z D 2 i et z E 2 i .

On remarque que les points C et E ont la même image par f et que E est invariant par f.

b.

c. Le vecteur AB a pour affixe 2 2 i et le vecteur CD a pour affixe 2 2i.

On a AB CD donc ABDC est un parallélogramme.

L image de AB DC est A B D C .

A B a pour affixe 4 2 i et C D a pour affixe 4 2 i donc A B D C est un parallélogramme.

Remarque : B D a pour affixe 2 3

1

3 i donc A B 6B D . Les points A ,B et D sont alignés alors que les points A,B et D ne le sont pas : cette application ne conserve pas l alignement.

2. On pose z x i y avec x et y des réels.

a. z (3 4 i) z 5 z

6 = (3 4 i)( x iy ) 5( x i y)

6 = 3x 4i x 3iy 4 y 5 x 5i y

6 8x 4y

6 i 4 x 2 y 6

La partie réelle de z est Re (z ) 4 x 2 y

3 et la partie imaginaire de z est Im (z ) 2x y 3 . b. On cherche l ensemble ( ) des points M tels que M M

M( z) ϵ ( ) z z 8x 4y

6 i 4x 2 y

6 = x i y

 

 ^{8 x} 6 ^{4 y} 4 x 2 y

6 y ^

  x 2 y

x 2 y x 2y.

( ) est la droite d équation x 2 y ou y 1 2 x .

Remarque : tout point de ( ) est confondu avec son image mais un point de ( ) peut être à la fois sa propre image et l image d un autre point, extérieur à ( ).

Par exemple, E est un point de ( ) et E est à la fois l image de E et l image de C par f.

3.

a. Soit z un nombre complexe.

z z 1 2 i

(3 4 i) z 5 z 6z 6(1 2 i)

3 z 4 iz 5 z 6(1 2 i)

( ^{3z 4iz 5 z} ) ^{(1 2i )}

6(1 2i )(1 2i ) z z

1 2 i

3z 4iz 5 z 6 iz 8z 10 i z 6 5

5z 5 z

30 i 10z 10 z 30

z z 6

i ( ^{z z} )

3 b. Pour tout complexe z : z z ϵ . De plus, z z ϵ i donc i ( ^{z z} ) ^{ϵ .}

Alors z z 1 2i

z z 6

i ( ^{z z} )

3 est un nombre réel.

II. z z ² 4 z.

1. Soit M un point d affixe z.

OMIM est un parallélogramme ssi MO IM ssi z z 3 ssi z z² 4 z 3 ssi z² 3 z 3 0 Δ = − 3 donc l’équation a deux solutions qui sont 3 i 3

2 et 3 i 3 2 .

Il existe deux points M tels que OMIM soit un parallélogramme. Ce sont les points d affixes 3 i 3 2 et 3 i 3

2 .

2. A et B sont les points d affixes respectives z A 1 i et z B 3 i et J est le point d affixe 2.

a. A a pour affixe (1 i)² 4(1 i ) 4 2 i et B a aussi pour affixe 4 2 i.

b. z A z B

2 = 2 = z J donc J est le milieu du segment [AB].

c. Soient M 1 et M 2 deux points d affixes respectives z 1 et z 2 qui ont la même image par f, c'est-à- dire tels que z 1 ² 4 z 1 z 2 ² 4z 2

z 1 ² 4 z 1 z 2 ² 4z 2 z 1 ² z 2 ² 4z 1 4z 2 = 0

( ^{z 1 z 2} ) ( ^{z 1 z 2} ) ⁴ ( ^{z 1 z 2} ) ⁰

( ^{z 1 z 2} ) ( ^{z 1 z 2 4} ) ⁰

( ^z 1 z ₂ ) = 0 ou ( ^z 1 z ₂ 4 = 0 )

z 1 z 2 ou z 1 z 2 4 = 0 z 1 z 2 ou z ₁ z ₂

2 2 z J

M 1 et M 2 sont confondus ou J est le milieu de [ ^{M 1 M 2} ] ^.

Ainsi, M ₁ et M ₂ sont confondus ou symétriques par rapport au point J.