Correction travail maison 7 : problème sur les similitudes Seconde Le plan est muni d'un repère orthonormé O ; u ;  v . On considère la transformation f qui à tout point M d'affixe z associe le point M ' d'affixe : z ' = 1

Correction travail maison 7 : problème sur les similitudes Seconde Le plan est muni d'un repère orthonormé O ; u ;  v . On considère la transformation f qui à tout point M d'affixe z associe le point M ' d'affixe : z ' = 1

2 iz 1 – 3 i 2

1. Démontrer que f est une similitude directe dont on précisera le centre , le rapport k et l'angle .

f a une écriture complexe de la forme z ' =az b avec a , b complexes donc on reconnaît l'écriture complexe d'une similitude directe.

Le rapport k est le module de a ; on a donc k = ∣ ¹ 2 i ∣ ^{= 1} 2 et =arg a =arg  ¹ 2 i  ^{= } 2

Le centre  de la similitude a une affixe  qui vérifie ^{w = 1} ₂ ^{i  1 –} ₂ ^{3 i} ⇔ ^  ^{1 – 1} 2 i  ^{= 1 –} 2 ^{3 i}

⇔ ^{× 5} ₄ ^{= 1 –} ₂ ^{3 i ×}  ^{1 1} 2 i  ^{⇔ × 5} 4 = 5 4 – 5

4 i ⇔ =1 – i .

f est donc la similitude directe de centre 1 – i , de rapport k= 1

2 et d'angle =  2 ^. 2. Soit M

le point d'affixe 14  33 i . Pour tout entier naturel n , le point M

est défini par M

= f M



a. En utilisant la question 1), exprimer  M

en fonction de n .

Comme f est une similitude directe, on peut utiliser son écriture complexe réduite : z ' – =ke

 z –  ⇔ z ' – 1 i= 1

2 i z – 1 i  Si l'on passe aux modules on obtient ∣ _{z ' –} 1i ∣ = 1

2 ∣ _{z –} 1 i ∣ . Or compte-tenu de la définition des points M

, si l'on note z

l'affixe de M

, on peut écrire que ∣ z

– 1i ∣ ^{= 1}

2 ∣ z

– 1i ∣ ⇔

 M

= 1

2  M

. On reconnaît une relation caractéristique des suites géométriques :

 M



est une suite géométrique de raison 1

2 et de premier terme

 M

= ∣ 14  ^{33 i – 1i ∣ = ∣ 4}  ^{3i ∣} =8 . Par conséquent,  M

=8×  ¹ 2 

pour tout n b. Placer le point M

et construire les

points M

, M

, M

et M

.

c. A partir de quel rang n

a-t-on : pour tout nn

, M

appartient au disque de centre  et de rayon r=0,05 ?

M

appartient au disque de centre  et de rayon r= 0,05 ⇔  M

 0,05 ⇔

8×  ¹ 2 

^0,05

⇔  ¹ 2 

^ 160 ¹ ⇔ –n ln 2– ln  160 ⇔ n ln 160

ln 2 . On prend n

=8

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Correction travail maison 7 : problème sur les similitudes Seconde 3. a. Calculer M

M

.

M

M

= ∣ ^z

– z

∣ ^==4  5 (calculs laissés à l'initiative du lecteur !)

b. Pour tout entier naturel n , on note d

=M

M

. Démontrer que d

 est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

d

=M

M

= ∣ ^z

– z

∣ ⁼ ∣ ¹ 2 iz

 1 – 3 i 2 – 1

2 iz

– 1 – 3 i

2 ∣ ⁼ ∣ ¹ 2 i  z

– z

 ∣ ⁼ ∣ ¹ 2 i ∣ ^{∣ z – n – z}

^{∣ = 1} 2 M

M

d



est donc une suite géométrique de raison 1

2 et de premier terme M

M

=4  5 . On a donc d

=4  5  ^{1 2} 

pour tout n entier naturel.

c. On note l

= d

 d

 d

 d

. Calculer l

en fonction de n et en déduire la limite l

lorsque n tend vers ∞ .

l

est la suite des termes d'une suite géométrique. On a donc:

l

=d

×

1 –  ¹ 2 

1 – 1 2

=4  ^5×2×  ^{1 –  1 2 }

 ^{=8  5×}  ^{1 –  1 2 }

 ^.

Comme 1

2 ∈ ]– 1 ;1[ , lim

n∞

 ¹ 2 

=0 et donc lim

n∞

l

=8  ⁵

4. Pour tout entier naturel n non nul, on note G

l'isobarycentre des points M

, M

, M

, ... , M

.

a. Démontrer que pour tout n 0 ,  G

 16 n1

G

l'isobarycentre des points M

, M

, M

, ... , M

⇔  G

M

 G

M

 G

M

= 0

⇔  G

  M

 G

 M

 G

  M

= 0 ⇔ n1  G

=  M

  M

  M

On passe maintenant aux normes des vecteurs (deux vecteurs égaux ont même norme) ce qui donne :  n 1 G

= ∥ ^{  M}

  M

  M

∥

Or ∥ u   v ∥ ≤ ∥  u ∥  ∥  v ∥ donc n 1 G

 M

 M

 M

( remarque ∥ ^ AB ∥ =AB ) Il ne reste plus qu'à exprimer le membre de droite de l'inégalité :

 M



est une suite géométrique de raison 1

2 et de premier terme 8 donc

 M

 M

 M

=8×

1 –  ¹ 2 

1 – 1 2

=16  ^{1 –  1 2 }

 16 de toute évidence ....

On reporte dans l'inégalité et l'on trouve que :  G

 16

n 1 pour tout n entier naturel ≠ 0.

b. En déduire la position limite du point G

lorsque n tend vers ∞ . lim

n∞

16

n1 = 0 donc G

tend vers 0 et G

se rapproche de  .

2010©My Maths Space Page 2/2