EXERCICE 4 1) Soit M un point du plan dont l’aﬃxe est notée z. f(M) = M⇔ z

(1)

EXERCICE 4

1)SoitMun point du plan dont l’affixe est notéez.

f(M) =M⇔z²=z⇔z(z−1) =0⇔z=0ouz=1⇔M=OouM=Ω.

Γ1={O, Ω}.

2) a)|a|=

!

"√ 2#2

+"√ 2#2

=2puis

a=2

$√

2 2 −i

√2

2

%

=2"

cos"

−π 4

#+isin"

−π 4

##=2e^−iπ/4.

a=2e⁻^iπ/4.

b)f(O) =Oet donc f(O)"=A. SoitMun point du plan distinct deOd’affixez"=0.

f(M) =A⇔z²=a⇔|z²|=|a|et il existe un entier relatifktel que arg(z²) =arg(a) +2kπ

⇔|z|²=2et il existe un entier relatifktel que2arg(z) = −π 4 +2kπ

⇔|z|=√

2et il existe un entier relatifktel que arg(z) = −π 8 +kπ

⇔z=√

2e^−iπ/8ouz= −√

2e^−iπ/8(car bien sûr,z²=a⇔(−z)²=a).

Les affixes des deux antécédents du pointAsont √

2e⁻^iπ/8 et−√

2e⁻^iπ/8. 3)Posonsz=x+iyoùxetysont deux réels.

z^!=z²= (x+iy)²=x²−y²+2ixy.

Par suite,

z^! est imaginaire pur⇔Re(z^!) =0⇔x²−y²=0⇔(x−y)(x+y) =0⇔y=xouy= −x.

Γ2est la réunion des deux droites d’équations respectivesy=xet y= −x.

4) (a)L’expression complexe de la rotationrde centreΩet d’angleπ

2 estz^!=1+e^iπ/2(z−1)ou encorez^! =1+i(z−1) ou enfinz^!=iz+1−i.

SoitMun point du plan distinct deΩdont l’affixe est notéez(z"=1).

ΩMM^!rectangle isocèle direct enΩ⇔ΩM=ΩM^!et "−−→ ΩM,−−−→

ΩM^!#

= π

2 [2π] (etM"=Ω)

⇔r(M) =M^!(etM"=Ω)

⇔z²=iz+1−i(etz"=1)

⇔z²−iz−1+i=0(etz"=1).

(b)Soitzun nombre complexe.

(z−1)(z+1−i) =z²−z+ (1−i)z− (1−i) =z²−iz−1+i.

c)SoitMun point du plan distinct de Ωdont l’affixe est notéez. D’après les deux questions précédentes

M∈Γ3⇔z²−iz−1+i=0etz"=1⇔(z−1)(z+1−i) =0etz"=1⇔z= −1+i.

Γ3={B}oùzB= −1+i.

5) a)Soit SoitMun point du plan dont l’affixezest différente de0et de1.

(2)

"−−OM,→ −−−→ OM^!#

=arg

&

z^!−0 z−0

'

=arg

&

z² z

'

=arg(z) [2π].

b)Soit SoitMun point du plan distinct deOet deΩ. AlorsM"=O,M^!"=Oet enfin, d’après la question 1),M^!"=M.

En résumé, les pointsO,Met M^! sont deux à deux distincts. Ensuite, O,Met M^! alignés⇔

"−−OM,→ −−−→ OM^!#

=0[π]⇔arg(z) =0[π]⇔z∈R(etz /∈{0, 1}).

Γ4est l’axe(Ox)privé des pointsOetΩ.