1. ( / 1 points) Donner la formule des probabilités composées.

(1)

PCSI 5 Note /15

Interrogation de cours 30 du Lundi 13 Juin 2016

Nom et prénom :

1. ( / 1 points) Donner la formule des probabilités composées.

Soit n ≥ 2 . Soient A 1 , . . . , A n des événements de l'espace probabilisé ni (Ω, P ) tels que P (A 1 ∩

· · · ∩ A n−1 ) > 0 . Alors

P (A 1 ∩ · · · ∩ A n ) = P (A 1 ) P (A 2 |A 1 ) P (A 3 |A 1 ∩ A 2 ) . . . P (A n |A 1 ∩ · · · ∩ A n−1 ).

2. ( / 1,5 points) Rappeler la dénition d'un système complet d'évènements, puis donner la formule des probabilités totales.

On appelle système complets d'événements de Ω toute famille (A ₁ , . . . , A _n ) (où n ∈ N ^∗ ) d'événe- ments telle que :

pour tout couple (i, j) d'éléments distincts de [|1, n|] , on ait A i ∩ A j = ∅ . S ⁿ

i=1

A _i = Ω .

Soit (A ₁ , . . . , A _n ) un système complet d'événements de l'espace probabilisé ni (Ω, P ) tel que P (A _i ) > 0 pour tout 1 ≤ i ≤ n . Pour tout événement B , on a :

P (B) =

n

X

i=1

P _A

_i

(B )P (A _i )

3. ( / 1 points) Donner la formule de Bayes (en utilisant un système complet d'évènements).

Soit (A ₁ , . . . , A _n ) un système complet d'événements de l'espace probabilisé (Ω, P ) tel que pour tout i ∈ [|1, n|] , P (A _i ) 6= 0 . Pour tout événement B tel que P (B) 6= 0 , on a pour tout i ∈ [|1, n|] :

P (A _i |B) = P (B|A _i ) P (A _i )

n

P

j=1

P (B|A _j ) P (A _j ) .

4. ( / 1 points) Donner la dénition de :

A et B indépendants : Deux événements A et B de l'espace probabilisé (Ω, P ) sont indépendants si :

P (A ∩ B) = P (A) P (B )

A ₁ , . . . , A _n mutuellement indépendants : A ₁ , . . . , A _n sont mutuellement indépendants si pour tout sous-ensemble I de [|1, n|] , on a :

P

\

i∈I

A _i

!

= Y

i∈I

P (A _i )

5. ( / 1 points) Donner en détail la dénition d'un produit scalaire :

C'est une forme bilinéaire symétrique dénie positive, c'est à dire une application φ : E × E → R satisfaisant :

φ est bilinéaire :

∀ x, x ⁰ , y, y ⁰ ∈ E, ∀ λ ∈ R , φ(λ.x+x ⁰ , y) = λ.φ(x, y)+φ(x ⁰ , y) et φ(x, λ.y+y ⁰ ) = λ.φ(x, y)+φ(x, y ⁰ )

(2)

φ est symétrique :

∀ x, y ∈ E, φ(y, x) = φ(x, y) φ est positive :

∀ x ∈ E, φ(x, x) ≥ 0 φ est dénie :

∀ x ∈ E, φ(x, x) = 0 ⇔ x = 0 6. ( / 2 points) Compléter :

||x + y|| ² = ||x|| ² + 2 < x, y > +||y|| ² ||x − y|| ² = ||x|| ² − 2 < x, y > +||y|| ²

Pythagore pour k vecteurs : soient (x ₁ , . . . , x _k ) une famille de vecteurs orthogonaux, alors :

||x ₁ + · · · + x _k || ² ≤ ||x ₁ || ² + · · · + ||x _k || ² .

7. ( / 3 points) Rappeler, puis démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz (on précisera sous quelle condition il y a égalité sans le démontrer) :

Soit (E, < ·, · >) un espace préhilbertien réel. On a :

∀ x, y ∈ E, | < x, y > | ≤ ||x||.||y||.

De plus, on a l'égalité si et seulement si x et y sont colinéaires.

Fixons x, y ∈ E , et considérons la fonction de R dans R dénie pour tout t ∈ R par : f (t) = ||tx − y|| ² = t ² ||x|| ² − 2t < x, y > +||y|| ² .

Deux cas peuvent alors se présenter :

Si ||x|| ² =< x, x >= 0 , alors puisque le produit scalaire est déni on en déduit que x = 0 _E . L'inégalité de Cauchy-Schwartz s'écrit alors 0 ≤ 0 et est bien satisfaite.

si ||x|| ² 6= 0 , la fonction f est une fonction polynomiale du second degré en t , à valeurs positives car le produit scalaire est positif. Son discriminant est donc positif :

∆ = 4 (< x, y > ² −||x|| ² ||y|| ²

≤ 0.

On en déduit l'inégalité de Cauchy-Schwartz.

8. ( / 2 points) Compléter l'algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt : Soit (x ₁ , . . . , x _p ) une famille libre de vecteurs de E .

poser e ₁ = x ₁

||x ₁ || ;

une fois les vecteurs e ₁ , . . . , e _k construits,

poser v _k+1 = x _k+1 − < e ₁ , x _k+1 > e ₁ − · · · − < e _k , x _k+1 > e _k ; poser e _k+1 = v k+1

||v _k+1 || .

9. ( / 2 points) Soit (E, < ·, · >) un espace euclidien, (e ₁ , . . . , e _n ) une base orthonormale de E . Soient x, y ∈ E des vecteurs de coordonnées (x ₁ , . . . , x _n ) et (y ₁ , . . . , y _n ) . Compléter :

< x, e _k >= x _k

< x, y >= x ₁ y ₁ + · · · + x _n y _n ||x|| = p

x ² ₁ + · · · + x ² _n

x =< x, e ₁ > e ₁ + · · · + < x, e _n > e _n

10. ( / 1 points) Expression de le projection orthogonale sur F : Soit (e 1 , . . . , e p ) une base orthonormale de F , alors :

p _F (x) =< x, e ₁ > e ₁ + · · · + < x, e _p > e _p .

11. ( / 1,5 points) Compléter : Soit F un sous-espace vectoriel de dimension nie de E

E = F ⊕ F ^⊥ ; d(x, F ) = ||x − p _F (x)||.

1. ( / 1 points) Donner la formule des probabilités composées.

PCSI 5 Note /15

Interrogation de cours 30 du Lundi 13 Juin 2016

Nom et prénom :

1. ( / 1 points) Donner la formule des probabilités composées.

Soit n ≥ 2 . Soient A 1 , . . . , A n des événements de l'espace probabilisé ni (Ω, P ) tels que P (A 1 ∩

· · · ∩ A n−1 ) > 0 . Alors

P (A 1 ∩ · · · ∩ A n ) = P (A 1 ) P (A 2 |A 1 ) P (A 3 |A 1 ∩ A 2 ) . . . P (A n |A 1 ∩ · · · ∩ A n−1 ).

2. ( / 1,5 points) Rappeler la dénition d'un système complet d'évènements, puis donner la formule des probabilités totales.

On appelle système complets d'événements de Ω toute famille (A 1 , . . . , A n ) (où n ∈ N ∗ ) d'événe- ments telle que :

pour tout couple (i, j) d'éléments distincts de [|1, n|] , on ait A i ∩ A j = ∅ . S n

i=1

A i = Ω .

Soit (A 1 , . . . , A n ) un système complet d'événements de l'espace probabilisé ni (Ω, P ) tel que P (A i ) > 0 pour tout 1 ≤ i ≤ n . Pour tout événement B , on a :

P (B) =

n

X

i=1

P A

(B )P (A i )

3. ( / 1 points) Donner la formule de Bayes (en utilisant un système complet d'évènements).

Soit (A 1 , . . . , A n ) un système complet d'événements de l'espace probabilisé (Ω, P ) tel que pour tout i ∈ [|1, n|] , P (A i ) 6= 0 . Pour tout événement B tel que P (B) 6= 0 , on a pour tout i ∈ [|1, n|] :

P (A i |B) = P (B|A i ) P (A i )

n

P

j=1

P (B|A j ) P (A j ) .

4. ( / 1 points) Donner la dénition de :

A et B indépendants : Deux événements A et B de l'espace probabilisé (Ω, P ) sont indépendants si :

P (A ∩ B) = P (A) P (B )

A 1 , . . . , A n mutuellement indépendants : A 1 , . . . , A n sont mutuellement indépendants si pour tout sous-ensemble I de [|1, n|] , on a :

P

\

i∈I

A i

!

= Y

i∈I

P (A i )

5. ( / 1 points) Donner en détail la dénition d'un produit scalaire :

C'est une forme bilinéaire symétrique dénie positive, c'est à dire une application φ : E × E → R satisfaisant :

φ est bilinéaire :

∀ x, x 0 , y, y 0 ∈ E, ∀ λ ∈ R , φ(λ.x+x 0 , y) = λ.φ(x, y)+φ(x 0 , y) et φ(x, λ.y+y 0 ) = λ.φ(x, y)+φ(x, y 0 )

φ est symétrique :

∀ x, y ∈ E, φ(y, x) = φ(x, y) φ est positive :

∀ x ∈ E, φ(x, x) ≥ 0 φ est dénie :

∀ x ∈ E, φ(x, x) = 0 ⇔ x = 0 6. ( / 2 points) Compléter :

||x + y|| 2 = ||x|| 2 + 2 < x, y > +||y|| 2 ||x − y|| 2 = ||x|| 2 − 2 < x, y > +||y|| 2

Pythagore pour k vecteurs : soient (x 1 , . . . , x k ) une famille de vecteurs orthogonaux, alors :

||x 1 + · · · + x k || 2 ≤ ||x 1 || 2 + · · · + ||x k || 2 .

7. ( / 3 points) Rappeler, puis démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz (on précisera sous quelle condition il y a égalité sans le démontrer) :

Soit (E, < ·, · >) un espace préhilbertien réel. On a :

∀ x, y ∈ E, | < x, y > | ≤ ||x||.||y||.

De plus, on a l'égalité si et seulement si x et y sont colinéaires.

Fixons x, y ∈ E , et considérons la fonction de R dans R dénie pour tout t ∈ R par : f (t) = ||tx − y|| 2 = t 2 ||x|| 2 − 2t < x, y > +||y|| 2 .

Deux cas peuvent alors se présenter :

Si ||x|| 2 =< x, x >= 0 , alors puisque le produit scalaire est déni on en déduit que x = 0 E . L'inégalité de Cauchy-Schwartz s'écrit alors 0 ≤ 0 et est bien satisfaite.

si ||x|| 2 6= 0 , la fonction f est une fonction polynomiale du second degré en t , à valeurs positives car le produit scalaire est positif. Son discriminant est donc positif :

∆ = 4 (< x, y > 2 −||x|| 2 ||y|| 2

≤ 0.

On en déduit l'inégalité de Cauchy-Schwartz.

8. ( / 2 points) Compléter l'algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt : Soit (x 1 , . . . , x p ) une famille libre de vecteurs de E .

poser e 1 = x 1

||x 1 || ;

une fois les vecteurs e 1 , . . . , e k construits,

poser v k+1 = x k+1 − < e 1 , x k+1 > e 1 − · · · − < e k , x k+1 > e k ; poser e k+1 = v k+1

||v k+1 || .

9. ( / 2 points) Soit (E, < ·, · >) un espace euclidien, (e 1 , . . . , e n ) une base orthonormale de E . Soient x, y ∈ E des vecteurs de coordonnées (x 1 , . . . , x n ) et (y 1 , . . . , y n ) . Compléter :

< x, e k >= x k

< x, y >= x 1 y 1 + · · · + x n y n ||x|| = p

x 2 1 + · · · + x 2 n

x =< x, e 1 > e 1 + · · · + < x, e n > e n

10. ( / 1 points) Expression de le projection orthogonale sur F : Soit (e 1 , . . . , e p ) une base orthonormale de F , alors :

p F (x) =< x, e 1 > e 1 + · · · + < x, e p > e p .

11. ( / 1,5 points) Compléter : Soit F un sous-espace vectoriel de dimension nie de E

E = F ⊕ F ⊥ ; d(x, F ) = ||x − p F (x)||.

On appelle système complets d'événements de Ω toute famille (A ₁ , . . . , A _n ) (où n ∈ N ^∗ ) d'événe- ments telle que :

pour tout couple (i, j) d'éléments distincts de [|1, n|] , on ait A i ∩ A j = ∅ . S ⁿ

A _i = Ω .

Soit (A ₁ , . . . , A _n ) un système complet d'événements de l'espace probabilisé ni (Ω, P ) tel que P (A _i ) > 0 pour tout 1 ≤ i ≤ n . Pour tout événement B , on a :

P _A

(B )P (A _i )

Soit (A ₁ , . . . , A _n ) un système complet d'événements de l'espace probabilisé (Ω, P ) tel que pour tout i ∈ [|1, n|] , P (A _i ) 6= 0 . Pour tout événement B tel que P (B) 6= 0 , on a pour tout i ∈ [|1, n|] :

P (A _i |B) = P (B|A _i ) P (A _i )

P (B|A _j ) P (A _j ) .

A ₁ , . . . , A _n mutuellement indépendants : A ₁ , . . . , A _n sont mutuellement indépendants si pour tout sous-ensemble I de [|1, n|] , on a :

A _i

P (A _i )

∀ x, x ⁰ , y, y ⁰ ∈ E, ∀ λ ∈ R , φ(λ.x+x ⁰ , y) = λ.φ(x, y)+φ(x ⁰ , y) et φ(x, λ.y+y ⁰ ) = λ.φ(x, y)+φ(x, y ⁰ )

||x + y|| ² = ||x|| ² + 2 < x, y > +||y|| ² ||x − y|| ² = ||x|| ² − 2 < x, y > +||y|| ²

Pythagore pour k vecteurs : soient (x ₁ , . . . , x _k ) une famille de vecteurs orthogonaux, alors :

||x ₁ + · · · + x _k || ² ≤ ||x ₁ || ² + · · · + ||x _k || ² .

Fixons x, y ∈ E , et considérons la fonction de R dans R dénie pour tout t ∈ R par : f (t) = ||tx − y|| ² = t ² ||x|| ² − 2t < x, y > +||y|| ² .

Si ||x|| ² =< x, x >= 0 , alors puisque le produit scalaire est déni on en déduit que x = 0 _E . L'inégalité de Cauchy-Schwartz s'écrit alors 0 ≤ 0 et est bien satisfaite.

si ||x|| ² 6= 0 , la fonction f est une fonction polynomiale du second degré en t , à valeurs positives car le produit scalaire est positif. Son discriminant est donc positif :

∆ = 4 (< x, y > ² −||x|| ² ||y|| ²

8. ( / 2 points) Compléter l'algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt : Soit (x ₁ , . . . , x _p ) une famille libre de vecteurs de E .

poser e ₁ = x ₁

||x ₁ || ;

une fois les vecteurs e ₁ , . . . , e _k construits,

poser v _k+1 = x _k+1 − < e ₁ , x _k+1 > e ₁ − · · · − < e _k , x _k+1 > e _k ; poser e _k+1 = v k+1

||v _k+1 || .

9. ( / 2 points) Soit (E, < ·, · >) un espace euclidien, (e ₁ , . . . , e _n ) une base orthonormale de E . Soient x, y ∈ E des vecteurs de coordonnées (x ₁ , . . . , x _n ) et (y ₁ , . . . , y _n ) . Compléter :

< x, e _k >= x _k

< x, y >= x ₁ y ₁ + · · · + x _n y _n ||x|| = p

x ² ₁ + · · · + x ² _n

x =< x, e ₁ > e ₁ + · · · + < x, e _n > e _n

p _F (x) =< x, e ₁ > e ₁ + · · · + < x, e _p > e _p .

E = F ⊕ F ^⊥ ; d(x, F ) = ||x − p _F (x)||.