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(1)

PCSI 5 Note /5

Interrogation de cours 29 du Lundi 6 Juin 2016

Nom et prénom :

1. ( / 1 points) Donner la dénition d'une probabilité P.

Soit Ω un univers ni. On appelle probabilité sur Ω une application P : P (Ω) → [0, 1] vériant : P (Ω) = 1 ;

pour tous événements incompatibles A et B , P (A ∪ B) = P (A) + P (B) . 2. ( / 1 points) Donner la formule des probabilités composées.

Soit n ≥ 2 . Soient A 1 , . . . , A n des événements de l'espace probabilisé ni (Ω, P ) tels que P (A 1 ∩

· · · ∩ A n−1 ) > 0 . Alors

P (A 1 ∩ · · · ∩ A n ) = P (A 1 ) P (A 2 |A 1 ) P (A 3 |A 1 ∩ A 2 ) . . . P (A n |A 1 ∩ · · · ∩ A n−1 ).

3. ( / 1 points) Rappeler la dénition d'un système complet d'évènements, puis donner la formule des probabilités totales.

On appelle système complets d'événements de Ω toute famille (A 1 , . . . , A n ) (où n ∈ N ∗ ) d'événe- ments telle que :

pour tout couple (i, j) d'éléments distincts de [|1, n|] , on ait A i ∩ A j = ∅ . S n

i=1

A i = Ω .

Soit (A 1 , . . . , A n ) un système complet d'événements de l'espace probabilisé ni (Ω, P ) tel que P (A i ) > 0 pour tout 1 ≤ i ≤ n . Pour tout événement B , on a :

P (B) =

n

X

i=1

P A

i

(B )P (A i )

4. ( / 1 points) Donner la formule de Bayes (en utilisant un système complet d'évènements).

Soit (A 1 , . . . , A n ) un système complet d'événements de l'espace probabilisé (Ω, P ) tel que pour tout i ∈ [|1, n|] , P (A i ) 6= 0 . Pour tout événement B tel que P (B) 6= 0 , on a pour tout i ∈ [|1, n|] :

P (A i |B) = P (B|A i ) P (A i )

n

P

j=1

P (B|A j ) P (A j ) .

5. ( / 1 points) Donner la dénition de :

A et B indépendants : Deux événements A et B de l'espace probabilisé (Ω, P ) sont indépendants si :

P (A ∩ B) = P (A) P (B )

A 1 , . . . , A n mutuellement indépendants : A 1 , . . . , A n sont mutuellement indépendants si pour tout sous-ensemble I de [|1, n|] , on a :

P

\

i∈I

A i

!

= Y

i∈I

P (A i )

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