NOM-Prénom : ……….
Exercice 1 : A l’aide des informations situées sur l’arbre ci-dessous, répondre aux questions suivantes.
1) Donner la probabilité de .
2) Donner la probabilité de sachant R.
3) Calculer la probabilité de . 4) Calculer la probabilité de S.
5) Calculer et
.
6) Les évènements R et S sont-ils indépendants ?
7) Construire et compléter l’arbre inversé où S et sont placés au premier niveau.
Exercice 2 : On considère l’arbre de probabilités ci-contre.
1) Exprimer à l’aide des notations probabilistes les valeurs 0,4 puis 0,2 inscrites dans l’arbre.
2) On donne . Compléter l’arbre ci-contre.
Exercice 3 :
Une enquête a été réalisée auprès des élèves inscrits à la demi-pension d’un lycée.
Les résultats révèlent que :
95% des élèves déclarent manger régulièrement à la cantine et parmi ceux-ci 70% sont satisfaits de la qualité des repas ;
des élèves qui ne mangent pas régulièrement à la cantine sont satisfaits de la qualité des repas.
On choisit un élève au hasard parmi les élèves inscrits à la demi-pension. On note les évènements suivants :
R l’évènement : « l’élève mange régulièrement à la cantine »
S : « l’élève est satisfait »
1) Définir par une phrase les évènements suivants : et . 2) Compléter l’arbre pondéré ci-contre décrivant la situation.
3) Calculer la probabilité que l’élève mange régulièrement à la cantine et soit satisfait de la qualité des repas.
4) Montrer que la probabilité que l’élève soit satisfait est égale à 0,675.
5) Calculer . Donner le résultat arrondi à
puis l’interpréter dans le contexte de l’exercice.
6) On considère que l’élève n’est pas satisfait de la qualité des repas, calculer la probabilité qu’il mange régulièrement à la cantine. Donner le résultat arrondi à
.
7) Les évènements R et S sont-ils incompatibles ? Interpréter la réponse dans le contexte de l’exercice.
8) On interroge successivement et de façon indépendante trois élèves pris au hasard parmi les élèves inscrits à la demi-pension.
On s’intéresse au fait de savoir si l’élève est satisfait ou non de la qualité des repas avec P(S)=0,675 a) Construire un arbre traduisant cette situation.
b) Calculer la probabilité de l’évènement A : « les trois élèves sont satisfaits de la qualité des repas ».
c) Calculer la probabilité de l’évènement B : « Au moins un élève est satisfait de la qualité des repas ».
Exercice 4 : En utilisant un tableau de signes, résoudre l’inéquation suivante :
1
èreDEVOIR N°1 Le 26 septembre 2019
CORRECTION DU CONTRÔLE N°1 1ère Spé
Exercice 1 :
La probabilité de est P ( ) R 0,3.
1) La probabilité de sachant R est P
R( ) S 0,6
2) La probabilité de est P R S P ( ) R P
R
( ) S 0,3 0,75 0,225
3) R et R forment une partition de donc, d après la formule des probabilités totales : P(S) P(R S ) P ( R S ) P (R) P
R(S ) P ( ) R P
R(S) 0,7 0,4 0,3 0,25 0,355 La probabilité de S est 0,355.
4) P
S( ) R P S R P (S)
0,3 0,25 0,355
15 71 et P
S
(R ) P ( S R )
P ( ) S
0,7 0,6 1 0,355
28 43 .
5) P
R(S) 0,4 et P(S ) 0,355 : P
R(S ) P(S ) donc S et R ne sont pas indépendants.
6) On peut construire l arbre ci-contre :
Exercice 2 :
1) 0,4 P(A) et 0,2 P
E(C) 2) P
A(C) P(A C )
P (A)
0,264
0,4 0,66.
On peut alors compléter l arbre :
Exercice 3 :
1) R : "l élève ne mange pas régulièrement à la cantine"
R S : "l élève ne mange pas régulièrement à la cantine et il est satisfait"
2) On peut construire l arbre ci-contre :
3) P(R S ) P(R) P
R(S ) 0,95 0,7 0,665. La probabilité que l’élève mange régulièrement à la cantine et soit satisfait de la qualité des repas est 0,665.
4) R et R forment une partition de . D après la formule des probabilités totales :
P(S) P(R S ) P ( R S ) P (R) P
R(S ) P ( ) R P
R(S) 0,95 0,7 0,05 0,2 0,675 La probabilité que l’élève soit satisfait est égale à 0,675.
5) P
S(R) P(S R ) P(S )
0,665
0,675 0,985. Si on choisit un élève satisfait, la probabilité qu il mange régulièrement à la cantine est 0,985 : 98,5% des élèves satisfaits mangent régulièrement à la cantine.
6) P
S
(R ) P ( S R )
P ( ) S
0,95 0,3
1 0,675 0,877. La probabilité qu un élève pas satisfait mange régulièrement à la cantine est environ 0,877.
A
0,4
C 0,66
C 1-0,66=0,34
E 1-0,4-0,15=0,45
C 0,2
C 1-0,2=0,8
F 0,15
C 0,65
C 1-0,65=0,35
S
0,355
R 56
71
R 15
71
S
0,645 R
28 43
R 15
43
R
0,95
S 0,7
S 0,3
R
0,05 S
0,2
S 0,8
7) P(R S ) 0 donc R et S ne sont pas incompatibles. Il y a des élèves qui mangent régulièrement à la cantine et qui sont satisfaits.
8) On interroge successivement et de façon indépendante trois élèves pris au hasard parmi les élèves inscrits à la demi-pension.
On s’intéresse au fait de savoir si l’élève est satisfait ou non de la qualité des repas avec P(S)=0,675 a) Pour k 1 ; 2 ou 3, on note S
kl événement "l élève n°k est satisfait"
On peut construire l arbre suivant :
b) P(A) 0,675
30,308. La probabilité que les trois élèves soient satisfaits de la qualité des repas est 0,675
3.
c) P(B) 1 0,625
30,977.La probabilité qu'au moins un élève soit satisfait de la qualité des repas est 1 0,625
30,977.
Exercice 4 :
(2 x 5)( x 7) (2x 5)(3x 4) (2x 5)( x 7) (2x 5)(3x 4) 0 (2 x 5)[(x 7) (3 x 4)] 0 (2 x 5)( 2x 11) 0 On peut construire le tableau de signes suivant :
x ‒ 5/2 11/2 +
2x 5 0 pour x 5/2
2x 11 0 pour x 11/2
2 x 5 2 x 11 (2x 5)( 2x 11)
(2 x 5)( x 7) (2x 5)(3x 4) a pour ensemble de solutions : S
5 2
11
2 .
S1
0,675
S2 0,675
S3 0,675
S3 0,325
S2
0,325 S3
0,675 S3 0,325
S1
0,325 S2
0,675
S3 0,675
S3 0,325
S2
0,325 S3
0,675 S3 0,325
