Problème No1 : Let’s Make a Deal
Au début des années 90, un jeu télévisé « Let’s Make a Deal » suscita de nombreuses interrogations parmi les télespectateurs américains.
En voici le principe :
On considère nboîtes numérotées de1 à navecn>3. On a placé dans l’une d’entre elles, choisie au hasard, un cadeau et toutes les autres sont vides. Un joueur choisit au hasard une boîte. Le présentateur du jeu ouvre alors au hasard une des autres boîtes parmi celles qu’il sait être vide et propose au joueur de changer éventuellement son choix.
Le but de ce problème est de déterminer qu’elle doit être la stratégie du joueur.
Pour tout16i6n, on noteXi la variable aléatoire égale à 1si le cadeau est dans la boîteiet égale à 0sinon.
Partie I : Étude des variables aléatoires Xi. 1. Soit16i6n. Quelle est la loi deXi. Donner son espérance et sa variance.
2. Soient16i6=j 6n. CalculerCov(Xi, Xj). Que peut-on en déduire sur les variables aléatoires Xi etXj?
3. On poseN la variable aléatoire définie parN =X1+· · ·+Xn. Donner la loi deN. Préciser son espérance et sa variance.
4. A l’aide de V(N), retrouver la valeur deCov(Xi, Xj).
Partie II : Avec Python
On propose une simulation de ce célèbre jeu télévisé en se limitant à la version à trois portes (n= 3).
Sans restreindre la généralité, on peut supposer que la boîte gagnante est la numéro1.
Sous Python, le mot clefrandom()de la bibliothèquerandomretourne un nombre réel aléatoire compris entre0 et1.
1. Écrire une fonction qui retourne1,2 ou 3avec « probabilité uniforme ».
2. Écrire une fonction qui, étant donnén∈ {1,2,3} rend2 ou3avec probabilité uniforme sin= 1 et l’autre valeur de{2,3} sinon. Que modélise cette fonction ?
3. Écrire deux fonctions qui testent les deux stratégies de jeux (conserver son choix ou le changer systématiquement), avec comme paramètre d’entrée le nombre de participations.
Partie III : Stratégie On revient au cas général.
Soit16k6n. On suppose que le joueur choisi au départ la boîte numéro kpuis que le présentateur ouvre une boîte choisie au hasard parmi les boîtes vides distinctes de la boîte numéro k.
Pour 16i6n, on note l’évènement Bi : ” Le présentateur ouvre la boîte numéro i”.
1. Pouri∈[[1, n]]\ {k}, calculer P(Bi |Xk= 1).
2. Pouri etj élément distincts de[[1, n]]\ {k}, calculerP(Bi |Xj = 1).
3. Pouri∈[[1, n]]\ {k}, calculer P(Bi).
4. Montrer que, pour tout i∈[[1, n]]\ {k},P(Xk= 1|Bi) = n1.
5. Soiti∈[[1, n]]\ {k}. CalculerP(Xj = 1|Bi) pourj∈[[1, n]]\ {k, i}.
6. Le joueur a-t-il intérêt à changer son choix initial ?
* * * FIN DU SUJET * * *
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