G1912 –Surf sur Mathspourtous.com [** à la main]
Zig et Puce surfent sur le site de Mathspourtous.com qui à la manière de Diophante.fr propose des problèmes mathématiques classés selon cinq catégories :
- arithmétique : 240 problèmes numérotés de 1 à 240, - algèbre : 200 problèmes numérotés de 1 à 200, - géométrie : 220 problèmes numérotés de 1 à 220, - combinatoire 30 problèmes numérotés de 1 à 30, - logique : 20 problèmes numérotés de 1 à 20.
Zig choisit au hasard une catégorie puis à l’intérieur de cette catégorie choisit au hasard un problème.
De son côté Puce indépendamment de Zig fait de même.
Zig est amené à résoudre un problème qui a le n°7 et Puce un problème qui a le n°77.
Soient p la probabilité pour que l’un et l’autre aient choisi deux catégories distinctes et m/n la fraction irréductible la plus proche possible de p avec m et n entiers < 99.
Calculer 100m + n.
Solution proposée par Bernard Vignes On retient les événements ci-après :
Z₇ : Zig tire un problème numéroté 7 en choisissant au hasard une catégorie puis à l’intérieur de cette catégorie en choisissant au hasard un problème. Ce problème peut être tiré dans l’une quelconque des cinq catégories.
La probabilité de réalisation de Z₇ est égale à :
Pr(Z₇ ) = (1/5)*(1/240) + (1/5)*(1/200) +(1/5)*(1/220) +(1/5)*(1/30) +(1/5)*(1/20) = 1281/66000
P₇₇ : Puce tire un problème numéroté 77 en choisissant au hasard une catégorie puis à l’intérieur de cette catégorie en choisissant au hasard un problème. Comme 77 > 30 et 77 > 20, ce problème peut être tiré seulement dans l’une des trois catégories : arithmétique, algèbre et géométrie.
La probabilité de réalisation de P₇₇ est égale à :
Pr(P₇₇) = (1/5)*(1/240) + (1/5)*(1/200) +(1/5)*(1/220) = 181/66000 A : Zig et Puce tirent un problème qui appartient à la même catégorie.
B : Z₇ et P₇₇ .
Comme les deux événements Z₇ et P₇₇ sont indépendants entre eux, on a Pr(B) = Pr(Z₇ )* Pr(P₇₇) soit Pr(B) = 1281*161/(66000)²
La probabilité conditionnelle demandée p est telle que 1 – p = Pr(A / B)
Or d’après le théorème des probabilités bayésiennes, Pr(A / B) = Pr(A et B)/Pr(B).
L’événement E = A et B s’exprime de la manière suivante E = E₁ ou E₂ ou E₃ tels que : E₁ = Zig tire le problème n°7 et Puce le n° 77 dans la catégorie « arithmétique »,
E₂ = Zig tire le problème n°7 et Puce le n° 77 dans la catégorie « algèbre», E₃ = Zig tire le problème n°7 et Puce le n° 77 dans la catégorie « géométrie », les événements E₁,E₂,E₃ étant incompatibles entre eux.
D’où Pr(E ) = Pr(E₁) + Pr(E₂) + Pr(E₃) = [(1/5)*(1/240)]² + [(1/5)*(1/200)]² + [(1/5)*(1/220)]², soit Pr(E ) = (55² + 66² + 60²)/66000².
Il en résulte que 1 – p = (55² + 66² + 60²)/(1281*181) = 10981/231861 p = 220880/231861 = 0.952639…
Avec les entiers m et n < 100, la fraction irréductible m/n = 20/21 = 0.95238.. est la plus proche de p.
Dès lors 100m + n = 2021.
