A549. Subreptice(s) intrusion(s) **** Zig choisit k nombres premiers distincts p

(1)

A549. Subreptice(s) intrusion(s) ****

Zig choisit k nombres premiers distincts p

_i

( i = 1,2..,k) strictement supérieurs à 7 et pour chaque p

_i

il demande à Puce de trouver un ensemble E

_i

de cinq entiers distincts strictement positifs < p

_i

tels que les divisions respectives par p

_i

de leurs puissances cinquièmes donnent toujours le même reste. Puce calcule alors les sommes S

_i

des cinq entiers appartenant à chaque ensemble E

_i

. Il obtient une suite de k termes à laquelle Diophante a subrepticement introduit au moins un intrus, ce qui donne une suite de 11 entiers: 22,68,93,94,122,123,155,202,246,284,292.

Déterminer le ou les nombre(s) intrus introduit(s) par Diophante et les nombres premiers choisis par Zig.

IL semblerait (voir annexe) que seuls les nombres premiers de la forme 10 n+ 1 peuvent produire des ensembles E

_i

de cinq entiers distincts.

Dans ce cas les intrus introduits par Diophante sont : 68, 94, 155, 246, 284 Et les nombres premiers choisis par Zig sont : 11, 31, 41, 61, 71, 101

Détails des résultats :

En bleu les nombres choisis par PUCE

(2)

Annexe :

p

i

Restes (classés dans l'ordre croissant)

2 1

3 1, 2

5 1, 2, 3, 4

7 1, 2, 3, 4, 5, 6

11 1, 1, 1, 1, 1, 10, 10, 10, 10, 10 13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

17 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 19 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18

23 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22

29 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 31 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 30, 30, 30, 30, 30

61 1, 1, 1, 1, 1, 11, 11, 11, 11, 11, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 21, 21, 21, 21, 21, 29, 29, 29, 29, 29, 32, 32, 32, 32, 32, 40, 40, 40, 40, 40, 47, 47, 47, 47, 47, 48, 48, 48, 48, 48, 50, 50, 50, 50, 50, 60, 60, 60, 60, 60

71 1, 1, 1, 1, 1, 20, 20, 20, 20, 20, 23, 23, 23, 23, 23, 26, 26, 26, 26, 26, 30, 30, 30, 30, 30, 32, 32, 32, 32, 32, 34, 34, 34, 34, 34, 37, 37, 37, 37, 37, 39, 39, 39, 39, 39, 41, 41, 41, 41, 41, 45, 45, 45, 45, 45, 48, 48, 48, 48, 48, 51, 51, 51, 51, 51, 70, 70, 70, 70, 70

101 1, 1, 1, 1, 1, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 10, 10, 10, 10, 14, 14, 14, 14, 14, 17, 17, 17, 17, 17, 32, 32, 32, 32, 32, 36, 36, 36, 36, 36, 39, 39, 39, 39, 39, 41, 41, 41, 41, 41, 44, 44, 44, 44, 44, 57, 57, 57, 57, 57, 60, 60, 60, 60, 60, 62, 62, 62, 62, 62, 65, 65, 65, 65, 65, 69, 69, 69, 69, 69, 84, 84, 84, 84, 84, 87, 87, 87, 87, 87, 91, 91, 91, 91, 91, 95, 95, 95, 95, 95, 100, 100, 100, 100, 100

131 1, 1, 1, 1, 1, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 24, 24, 24, 24, 24, 32, 32, 32, 32, 32, 39, 39, 39, 39, 39, 45, 45, 45, 45, 45, 47, 47, 47, 47, 47, 51, 51, 51, 51, 51, 52, 52, 52, 52, 52, 60, 60, 60, 60, 60, 62, 62, 62, 62, 62, 63, 63, 63, 63, 63, 68, 68, 68, 68, 68, 69, 69, 69, 69, 69, 71, 71, 71, 71, 71, 79, 79, 79, 79, 79, 80, 80, 80, 80, 80, 84, 84, 84, 84, 84, 86, 86, 86, 86, 86, 92, 92, 92, 92, 92, 99, 99, 99, 99, 99, 107, 107, 107, 107, 107, 112, 112, 112, 112, 112, 113, 113, 113, 113, 113, 130, 130, 130, 130, 130

A549. Subreptice(s) intrusion(s) **** Zig choisit k nombres premiers distincts p