A549 – Subreptice(s) intrusion(s) [**** à la main]
Zig choisit k nombres premiers distincts pi ( i = 1,2..,k) strictement supérieurs à 7 et pour chaque pi il demande à Puce de trouver un ensemble Ei de cinq entiers distincts strictement positifs < pi tels que les divisions respectives par pi de leurs puissances cinquièmes donnent toujours le même reste ri . Puce calcule alors les sommes Si des cinq entiers appartenant à chaque ensemble Ei. Il obtient une suite de k termes à laquelle Diophante a subrepticement introduit au moins un intrus, ce qui donne une suite de 11 entiers: 22,68,93,94,122,123,155,202,246,284,292.
Déterminer le ou les nombre(s) intrus introduit(s) par Diophante et les nombres premiers choisis par Zig.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Quand p-1 est premier avec 5, les puissances de 5 des p-1 nombres <p sont toutes différentes. Par contre si p-1 est divisible par 5 , chaque N= a**5 (mod p) est tel que N**((p-1)/5) =1 (mod p). donc N est nécessairement solution de l’équation X****((p-1)/5) =1 qui admet (p-1)/5 solutions.
Les 5 nombres ai donnent N sont eux solutions de l’équation X**5=Nk (k de 1 à (p-1)/5). Cette équation indique que la somme des ai aboutissant à Nk est égale à 0 (mod p) car le coefficient de X**4 est nul..
Compte tenu de ces éléments une condition nécessaire est qu’il faut donc que les sommes Si soient divisibles par un nombres premiers de la forme 10.r +1. Ce n’est pas le cas pour 68, 94 et 292.
Une autre condition nécessaire est que Si soit strictement inférieur à 5. pi, ce qui n’est pas le cas pour 155 ( pi=31 et donc égal à 5.pi) ni 246 (pi=41 et donc égal à 6.pi).
Il ne reste donc que 6 valeurs possibles : 22 (p= 11), 93 (p=31) , 122 (p=61), 123 (p=41), 202((p=101), 284 (p=71). On vérifie aisément avec Excel que c’est bien le cas.
