Nombres premiers

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Nombres premiers

I. Nombres premiers Définition 1

Un nombre entier naturelp est premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui- même.

Exemple

l2 est premier car ses seuls diviseurs positifs sont 1 et 2.

l0 n’est pas premier car il possède une infinité de diviseurs positifs.

l1 n’est pas premier car il ne possède qu’un diviseur positif, lui-même.

lLes nombres premiers inférieurs à 50 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Remarque

äUn entier supérieur à 2 qui n’est pas premier est ditentier composé.

äSipest un nombre premier etn un entier, ou bienpdivisen ou bienpest premier avecn puisqu’ils n’ont que 1 comme diviseur commun.

Théorème 1

lTout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet un diviseur premier.

lTout entier naturel supérieur ou égal à 2, non premier, admet un diviseur premierpinférieur ou égal àp

n.

Démonstration

Soitnun entier naturel,n≥2. Sinest premier, il est un diviseur premier de lui-même.

Sinn’est pas premier, il admet un diviseur positif autre que 1 et lui-même. L’ensemble E des diviseurs positifs, autres que 1 etn, est donc un ensemble d’entiers naturels non vide. Il a donc un plus petit élément que l’on notep.

Sipn’était pas premier, il existerait un diviseur propreddepqui serait plus petit quep; commeddiviseraitpetpdivisenalorsddiviseraitn.dserait donc un élément de E plus petit quep, ce qui est absurde.

Doncpest premier et divisen. Il existe par conséquentqentier tel quen=pqavec<q<n. Doncqest un diviseur propre denet par conséquent p≤q. On en déduit quep²≤pqsoitp²≤net doncp≤p

n.

Propriété 1 : Test de primalité Soitnun entier supérieur à 2.

Sinn’est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux àp

n alorsnest un nombre premier.

Démonstration

Sinn’est pas premier, il admet un diviseur premier inférieur ou égal àp

nd’après le théorème 1.

La propriété 1 est donc la contraposée de cette proposition.

ExemplePourn=97,p

n≈9, 8. Or 97 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 donc 97 est un nombre premier.

Théorème 2

Il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration Activité 3 p 50

Exercices n^o1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 p 64 - 66

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II. Décomposition en facteurs premiers Théorème 3

Tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2 se décompose en un produit de nombres premiers.

Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

On écrira n = p^α₁¹p₂^α2. . .p^α_k^k oùp₁,p₂, . . . ,p_k sont des nombres premiers deux à deux distincts et α1,α2, . . . ,αksont des entiers naturels non nuls.

Démonstration l^Existence

Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 2. On sait d’après le théorème 1 qu’il admet un diviseur premierp1. Alorsn=p1n1où 1≤n1≤n.

Sin₁=1 alorsn=p₁et la propriété est démontrée.

Sin₁6=1, alorsn₁admet un divieurs premierp₂et on a doncn=p₁p₂n₂où 1≤n₂≤n₁. On continue de la même manière tant que le quotientn_iest supérieur à 1.

On forme ainisi une liste d’entiersn1,n2, . . . strictement décroissante et minorée par 1. Elle est donc finie, c’est-à-dire qu’à un certain rang, on anm=1 et doncn=p₁p2moù lesp_isont des nombres premiers, pas nécessairement distincts.

En regroupant les facteurs égaux entre eux, on obtient l’écriturep^α₁¹p^α₂². . .p^α_k^k. l^Unicité

Admise. Elle peut se démontrer avec le théorème de Gauss.

Théorème 4

Si l’entier naturelnsupérieur ou égal à 2 admet pour décomposition en produit de facteurs premiers n =p^α₁¹p₂^α2. . .p^α_k^k, les diviseurs positifs de n sont les entiers p^r₁¹p₂^r2. . .p^r_k^k où r₁,r₂, . . . ,r_k sont des entiers tels que 0≤r_i≤αi pour 1≤i≤k.

Exemple

24=2³×3 donc 24 a pour diviseurs les entiers 2^α×3^βavec 0≤α≤3 et 0≤β≤1.

On peut lister tous les diviseurs de 24 à l’aide de l’arbre ci-dessous.

2³

3¹. . . 2³×3¹=24 3⁰. . . 2³×3⁰=8 2²

3¹. . . 2²×3¹=12 3⁰. . . 2²×3⁰=4 2¹

3¹. . . 2¹×3¹=6 3⁰. . . 2¹×3⁰=2 2⁰

3¹. . . 2⁰×3¹=3 3⁰. . . 2⁰×3⁰=1

Cet arbre a 4×2 branches donc 24 a 8 diviseurs.

En reprenant le dénombrement effectué sur l’exemple précédent, on obtient de façon générale le nombre de diviseurs d’un entiern≥2.

Propriété 2

Si un entiern,n≥2 admet la décomposition en produit de facteurs premiersn=p^α₁¹p^α₂². . .p^α_k^k, n admet (α1+1)(α2+2)× · · · ×(αk+1) diviseurs positifs.

Exercices n^o20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 - 29 - 30 - 31 - 32 - 33 - 34 - 35 - 36 - 37 38 - 39 - 40 p 66 - 67

Exercices n^o64 - 66 - 67 - 71 - 72 - 73 - 76 - 77 - 80 - 81 - 82 p 70 - 75

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