G256. Trouver le plus grand nombre possible de nombres entiers positifs qui sont des diviseurs de tels que chacun d’eux ne divise pas les autres.
Solution (incomplète) proposée par Claudio Baiocchi.
On va montrer qu'un tel doit être au moins égal à 344. De manière plus précise, on construit un ensemble de cardinalité 344 qui satisfait la propriété voulue mais on ne sait pas si la valeur 344 est optimale.
Pour mieux comprendre la situation on va généraliser le problème en considérant les diviseurs d'un nombre M qui, au départ, sera bien plus petit que .
On choisit d’abord .Les diviseurs sont tous du type avec p et q compris entre 0 et 3 et l’on voit aisément que l'ensemble {8, 12, 18, 27} satisfait la propriété voulue. On a donc , mais on vérifie aisément que car dans toute famille de diviseurs ayant 5 éléments on trouve au moins un couple (F, F') tel que F divise F'.
Remarque Le contrôle de l'optimalité ne doit pas être fait "à l'aveuglette". C’est ainsi qu’on évitera de contrôler ce qui se passe pour les sous-ensembles contenant le nombre 1 (qui divise tous les autres) ainsi que ceux qui contiennent le nombre (qui est un multiple de tous les autres). La même démarche doit guider l’écriture d’un programme informatique . Pour éviter une attente trop longue, le programme doit être assez astucieux!
Si l'on généralise le problème en passant de à , on s'aperçoit que la bonne stratégie consiste à choisir les diviseurs du type , avec ; la cardinalité de l'ensemble correspondant vaut , mais ici les contrôles d'optimalité (en particulier ceux qui utilisent l’ordinateur) deviennent un peu plus compliqués.
Si l’on veut opérer avec des nombres M qui ont plus de deux facteurs premiers, on va d’abord considérer . Les diviseurs sont maintenant au nombre de 64, à savoir les nombres du type avec p, q et r compris entre 0 et 3.Un programme (bien conçu...) nous montre que la valeur maximale de n est 12 et que, comme ensemble optimal, on peut choisir les diviseurs du type avec p, q et r non négatifs tels que . Naturellement si l’on remplace chaque élément par on aboutit encore à un ensemble optimal.La propriété somme des exposants=4 peut donc être remplacée par somme des exposants=5.
On remarque maintenant que, pour toute valeur S de la somme des exposants, l'ensemble des nombres du type avec est toujours constitué par éléments non-
comparables (à savoir: si D et D' sont deux diviseurs de ce type, D ne divise pas D' et D' ne divise pas D). Après avoir remarqué que cette propriété n'est pas liée au fait que M a seulement trois facteurs premiers, on va s'occuper du vrai problème, où les facteurs premiers sont
quatre: .
Remarque Naturellement on pourrait remplacer le facteur 67 par un quelconque facteur premier (autre que 2, 3 et 5); le choix minimal correspond à remplacer par , mais même en réduisant la valeur de M, l'espoir de s'en sortir avec un programme pour ordinateur est vaine car il y a 4096 diviseurs, dont quelques-uns sont de taille trop importante. Il faut nécessairement changer la structure du programme (par exemple en travaillant directement avec les exposants des quatre facteurs) mais de toute façon le temps d'exécution reste trop long.
On va donc se borner à travailler avec les ensembles du type avec p, q, r et s non négatifs satisfaisant ; et on se demande quelle est la valeur optimale de la somme S. On a (au moins) trois possibilités: on peut travailler "à la main", ou bien chercher sur Internet, ou encore utiliser un petit programme. Par exemple, dénotant un vecteur à 29 composantes
(dont les valeurs de départ sont toutes nulles) il suffit d'emboiter quatre cycles:
pour p qui va de 0 à 7 pour q qui va de 0 à 7 pour r qui va de 0 à 7 pour s qui va de 0 à 7
incrémenter de une unité
next s, r, q, p
A la sortie on lit les valeurs des composantes du vecteur Num, et on voit que le choix le meilleur
correspond à la somme , avec .
