Q4−Déterminer l’entier fortn<100000 qui a le plus grand nombre possible de diviseurs

A376. Les forts et les faibles ****

Un entiernest par convention appelé « fort » si son nombre de diviseurs (y compris 1 et lui-même) est strictement supérieur aux nombres de diviseurs de tous les entiers qui lui sont inférieurs. Si ce n’est pas le cas, cet entier est dit « faible ».

Par exemple, 4 est fort car il a trois diviseurs (1,2,4) et chacun des entiers 1,2,3 a au plus deux diviseurs.

15 est faible car il a 4 diviseurs (1,3,5,15) alors que 12 qui lui est inférieur en a 6 (1,2,3,4,6,12).

Q1−Le plus petit entier qui a exactement 28 diviseurs est-il fort ou faible ? Q2−Trouver le plus petit entier fort qui a au moins 112 diviseurs.

Q3−Déterminer le nombre d’entiers faibles strictement positifs inférieurs ou égaux à 2019.

Q4−Déterminer l’entier fortn<100000 qui a le plus grand nombre possible de diviseurs.

Q5−Pour quelles valeurs den, l’entiern! (factorielle den) est-il fort ?

Solution de Claude Felloneau

Q1− Le plus petit entier qui a 28 diviseurs est 960. Il est faible.

En effet,

Sin=p^α₁¹p^α₂²...p^α_k^k où pour 16¹6^4,piest premier etαi>^1.

Les diverses décompositions multiplicatives de 28 sont 28, 2×14, 4×7, 2×2×7 donc les entiers qui ont 28 diviseurs sontp²⁷₁ ,p₁p¹³₂ ,p₁³p₂⁶etp₁p₂p₃⁶oùp₁,p₂etp₃sont premiers. Le plus petit d’entre eux est 5×3×2⁶=960.

960 est faible car 840=2³×3×5×7 a 4×2×2×2=32 diviseurs donc plus de 28.

Un programme (voir en annexe) permet d’afficher tous les entiersnforts compris entre 2 et 100000 ainsi que le nombreD(n) de diviseurs den.

n 2 4 6 12 24 36 48 60 120 180 240 360 720 840 1260 1680

D(n) 2 3 4 6 8 9 10 12 16 18 20 24 30 32 36 40

n 2520 5040 7560 10080 15120 20160 25200 27720 45360 50400 55440 83160

D(n) 48 60 64 72 80 84 90 96 100 108 120 128

Ce tableau permet de répondre aux questionsQ2,Q3etQ4.

Q2− Le plus petit entier fort qui a au moins 112 diviseurs est 55440 qui a 120 diviseurs.

Q3− Il y a exactement 2012 entiers faibles strictement positifs inférieurs ou égaux à 2019.

En effet, il y a 17 entiers forts (en comptant 1) qui sont inférieurs à 2019.

Q4− L’entier fortn<100000 qui a le plus grand nombre possible de diviseurs est 83160 qui a 128 diviseurs.

Q4− n! est un entier fort si et seulement si 16ⁿ6^7.

Les valeurs den! pour 16ⁿ67 sont 1, 2, 6, 24, 120, 720 et 5040 qui sont bien dans le tableau précédent.

Il reste à prouver que pourn>^8,n! est un entier faible.

Pourn>^{8, on an!}=2^anbnoùan∈Netbnest un entier impair.

Comme 2 etb_nsont premiers entre eux, le nombre de diviseurs den! est D(n!)=D¡

2^an¢

D(bn)=(an+1)D(bn) .

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On désigne parpnle plus petit entier premier strictement supérieur ànetcnle plus petit entier tel que pn<2^cn.

Sicn6^an, l’entierdn= n!

2^cnpnest égal à 2^an−cnbnpnet est strictement inférieur àn!.

Comme 2,bnetpnsont premiers entre eux deux à deux, le nombre de diviseurs dednest D(dn)=D¡

2^an−cn¢

D(bn)D¡ pn¢

=(an−cn+1)D(bn)×2 Ainsi

D(dn)>^D(n!)⇐⇒2(an−cn+1)>^(an+1)⇐⇒an>^2cn−1 Comme 2^cn−16^pn, on a

cn6¹+log₂¡ pn¢

<1+log₂(2n) carpn<2nd’après le théorème de Tchebycheff.

De plus,anest supérieur à la partie entière den

2 doncan>ⁿ 2−1.

Pour queD(dn)>^D(n!) il suffit donc que n

2−1>¹+2 log₂(2n) soitn−4−4 log₂(2n)>^0.

La fonctionf définie sur ]0,+∞[ par f(x)=x−4 log₂(x)−4 a pour dérivéef⁰(x)=1 x µ

x− 4 ln(2)

¶ . f est donc croissante sur l’intervalle

¸ 4 ln(2),+∞

·

etf(15)>0 doncf(n)>0 pourn>^15.

Ainsi, sin>15 alorsd_nest un entier strictement inférieur àn! tel queD(d_n)>^D(n!). L’entiern! est donc faible.

Pourn=8, 9, 10, 11 ou 12, on aan>^{7, 8}<pn<16 etcn=4 doncan>^2cn−1 d’oùD(dn)>^D(n!). L’entier n! est donc faible.

Pourn=13 ou 14, on aan>^10,pn=17 etcn=5 doncan>^2cn−1 d’oùD(dn)>D(n!). L’entiern! est donc faible.

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Annexe

Fonction qui donne le plus petit facteur premier de l’entier n def PPFactPremier(n) :

if n>1 : p=2

while n%p !=0 : p=p+1 return p

Fonction qui donne la décomposition en facteurs premiers de l’entier n def DecompFactPremiers(n) :

L=[]

L1=[]

while n !=1 :

p=PPFactPremier(n) L.append(p)

n=n/p i=0

while i<len(L) : p=L[i]

e=L.count(p) L1.append(p) L1.append(e) i=i+e

return L1

Fonction qui donne le nombre de diviseurs de l’entier n def NbDiviseurs(n) :

nb=1

L=DecompFactPremiers(n) for i in range(len(L)) : if i%2==1 :

nb=nb*(L[i]+1) return nb

Procédure qui imprime les entiers forts compris entre 2 et n, et les nombre diviseurs correspondants def Fort(n) :

m=1

for i in range(1,n+1) : d=NbDiviseurs(i) if d>m :

print(i,d) m=d

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