A30372. Abondance
On appelle nombre abondant un nombre entier qui est inférieur ou égal à la somme de tous ses diviseurs excepté lui-même. Par exemple 12≤1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.
Montrer que tous les multiples de 6 sont des nombres abondants et que pour ces nombres l’égalité n’est obtenue que pour 6.
Solution
Soit s(n) la somme des diviseurs den, y compris 1 et nlui-même. Il s’agit de montrer ques(6k)>12k sauf sik= 1, cas oùs(6) = 12.
La fonction s(n) est multiplicative : si m et n sont premiers entre eux, s(mn) =s(m)s(n). En effet, chaque diviseur demn se décompose de façon unique en produit d’un diviseur dem et d’un diviseur den, et danss(mn), chaque diviseur de mest multiplié par tous les termes de s(n).
Si les exposants de 2 et 3 dansnsont aetbnon nuls, n=m·2a·3b, s(n) =s(m)(2a+1−1)3b+12−1 ≥s(m)(2a+1−2a−1)3b+1−32 b−1 = 2n·s(m)/m, d’oùs(n)≥2n, cars(m)≥m, l’égalité exigeant a=b=m= 1, n= 6.
Remarques.
1) Il existe des nombres abondants premiers avec 6, par exemple 5391411025.
2) Christian Stéfani généralise la propriété en “Soit un multiple strictn=ka d’un nombreaparfait ou abondant ; alorsnest abondant”. En effet on trouve dans les diviseurs stricts de n (parties aliquotes) les parties aliquotes de a, de somme ≥ a, multipliées par k, ainsi que 1, d’où une somme ka+ 1 au moins.
