A121 - Plus grand que la somme de ses diviseurs
Solution
Le problème a un lien avec les fractions égyptiennes telles que 1 = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d + …+
1/k et qui sont analysées dans le problème A….
En effet, s’il existe un entier N dont la somme des diviseurs est supérieure à N, N sera exclu s’il existe a, b, c, ……k entiers tous distincts tels que N est le PPCM de ces nombres : Par exemple :
1 = 1/2 + 1/3 + 1/6 6 qui est un nombre parfait (i.e. égal à la somme de ses diviseurs) est exclu ainsi que tous les multiples de 6
1 = 1/2 + 1/4+1/5 +1/20 20 et ses multiples sont exclus
1 = 1/2 + 1/4 +1/7 +1/14 +1/28 28 qui est un nombre parfait est exclu ainsi que tous ses multiples
1 = 1/2 + 1/4 +1/8 +1/11 +1/44 +1/88 88 et ses multiples sont exclus 1= 1/2 + 1/4 +1/8 +1/13 +1/52 +1/104 104 et ses multiples sont exclus
D’autre part, la plupart des nombres entiers impairs sont exclus car la somme de leurs diviseurs est dans la très grande majorité des cas plus petite qu’eux . C’est ainsi qu’entre 1 et 1000 , seul 945 a une somme de ses diviseurs plus grande que lui mais ce nombre est exclu car il existe une décomposition de 1 en fractions égyptiennes dont le PPCM des
dénominateurs est égal à 945 :
1 = 1/3 + 1/5 + 1/7 +1/9 +1/15 + 1/21 + 1/27 +1/35 + 1/63 +1/135 +1/189 + 1/315 +1/945.
En prenant en compte tous ces éléments, la recherche des entiers N satisfaisant les conditions requises se simplifie et le plus petit entier N se détermine manuellement assez rapidement . Il s’agit de 70 dont les diviseurs 1,2,5,7,10,14,35 ont pour somme 74 et aucun sous-ensemble ne donne une somme strictement égale à 70. La recherche du nombre suivant fait appel à un ordinateur ou à un calculateur programmable : 836 dont les diviseurs
1,2,4,11,19,22,38,44,76,209,418 ont pour somme 844. Les termes suivants sont respectivement 4030 (dont les diviseurs sont
1,2,5,10,13,26,31,62,65,13à,155,310,403,806,2015 de somme égale 4034) et 5830 (dont les diviseurs sont 1,2,5,10,11,22,53,106,110,265,530,583,1166,2915 de somme égale à 5834)
