A150 - Le plus petit et le plus grand - Enonc´e
J’´ecris les entiers naturels de 1 `a 12 sur une feuille. J’efface deux entiers a et b de la liste que je remplace para+b+ab et je poursuis cette op´eration jusqu`a ce quil reste un seul nombre. Quel est le plus petit et quel est le plus grand des nombres finaux que je peux obtenir ?
A150 - Le plus petit et le plus grand - Corrig´e
Remarquons tout d’abord que remplaceraetbpar l’entiera+b+abrevient `a les remplacer par (1+a)(1+b)−1.
Propri´et´e : Dans un ensemble de n entiers positifs {a1, a2, ..., an}, quand on fait toutes les ”op´erations”
d´ecrites dans l’´enonc´e du probl`eme, on obtient toujours comme r´esultat final
n
Y
i=1
(1 +ai)
!
−1.
D´emonstration : par r´ecurrence. Le r´esultat pour n= 2 est trivial en vertu de la remarque pr´ec´edente.
Supposons la propri´et´e v´erifi´ee jusqu’`a un rangn≥2. Au rangn+ 1, `a la derni`ere ´etape il reste deux entiers et donc deux cas se pr´esentent :
Cas 1 : Il reste un entier du d´epartaj et un entier qui provient des ”op´erations” sur lesnautres entiers. En appliquant l’hypoth`ese de r´ecurrence, ce dernier entier est donc de la forme
n+1
Y
i=1,i6=j
(1 +ai)
−1. On les
remplace donc par (1 +aj)
1 +
n+1
Y
i=1,i6=j
(1 +ai)
−1
−1 =
n+1
Y
i=1
(1 +ai)
!
−1 et la propri´et´e est donc v´erifi´ee au rangn+ 1.
Cas 2 : Les deux entiers qui restent sont issus d’”op´erations” `a partir des entiers de d´epart. On peut donc leur appliquer l’hypoth`ese de r´ecurrence et donc affirmer qu’ils sont de la forme Y
i∈Ia
(1 +ai)
!
−1 et
Y
i∈Ib
(1 +ai)
!
−1 avec Ia∪Ib = {1,2, ..., n+ 1}, Ia∩Ib = ∅, Ia 6= ∅ et Ib 6= ∅. On les remplace donc
par 1 + Y
i∈Ia
(1 +ai)
!
−1
!
1 + Y
i∈Ib
(1 +ai)
!
−1
!
−1 =
n+1
Y
i=1
(1 +ai)
!
−1 et la propri´et´e est donc v´erifi´ee au rangn+ 1.
Conclusion de l’exercice :
Quelque soit la m´ethode utilis´ee, on trouve toujours comme r´esultat 13!−1 = 6227020799.
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