A150 Le plus petit et le plus grand? [** à la main]
Solutions
Daniel Collignon, Pierre Henri Palmade et David Vincent ont répondu au problème :
Daniel Collignon :
Remarquons que a + b + ab = (a+1)(b+1) – 1.
Par récurrence, il est aisé de montrer qu’avec x1…xn, le nombre restant est indépendant de l’ordre des opérations et vaut produit(i=1..n, xi + 1) – 1.
Avec 1..12, le nombre restant vaut 13! - 1 = 6 227 020 799
Pierre Henri Palmade :
La loi de composition qui fait correspondre à (a,b) aLb=a+b+ab est commutative et associative puisque aLb+1=(a+1)(b+1). Le résultat final ne dépend donc pas de l'ordre dans lequel sont effectuées les opérations on obtiendra toujours
2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13-1=6 227 020 799 David Vincent (voir fichier en format pdf) :
Autre solution :
On désigne par # la fonction qui est définie sur les couples d’entiers (a,b), 1 a,b n , et prend ses valeurs dans N à partir de la relation a#b = a + b + ab.
On peut encore écrire a#b = (a+1).(b+1) – 1.
Il apparaît que # est associative et commutative.
Associative car (a#b)#c = ((a+1)(b+1) –1)(c+1) – 1 = (a+1)(b+1)(c+1) – 1 = (a+1)((b+1)(c+1)+1–1) –1 = a#(b#c).
Commutative car a#b = a + b + ab = b + a +ba = b#a.
Il en résulte que les opérations d’effacement peuvent être réalisées dans n’importe quel ordre et qu’en fin de parcours c’est à dire au bout de n-1 minutes, c’est toujours le même nombre qui apparaît et qui est indépendant de l’ordre dans lequel les nombres de 1 à n ont été successivement effacés. Le plus petit et le plus grand des nombres finaux possibles ne font donc qu’un seul et même nombre.
Le nombre final F(n) vaut (n+1)! – 1 et s’obtient par récurrence. Le résultat est trivial pour n=1,2,3. avec F(1) = 1, F(2) = 5 = 3! – 1, F(3) = 23 = 4 ! –1.Supposons qu’il est vrai jusqu’au rang n. On ajoute l’entier n+1. En raison des propriétés d’associativité et de commutativité précédemment démontrées, on a F(n+1) = (n+1)! – 1 + n + 1 + (n+1)(n+1) ! – (n+1) = (n+1)!(1+ n +1) – 1 = (n+1)!(n+2) – 1 = (n+2)! – 1.
Pour n=12, on a donc F(12) =13 ! – 1 = 6 227 020 799
