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E522 Le plus petit est aussi le plus grand [*** à la main]

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Academic year: 2022

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E522 Le plus petit est aussi le plus grand [*** à la main]

Solution n°1

On démontre d’abord le lemme (L) suivant : soit six points dans le plan tels que trois quelconques d’entre eux ne sont jamais colinéaires. Si l’on colorie en bleu ou en rouge les quinze segments qui relient les six points deux à deux, il y a nécessairement au moins un triangle dont tous les trois côtés sont de la même couleur.

En effet, d’un point donné, A par exemple, il y a au moins trois segments qui sont de la même couleur (bleu par exemple) : AB,AC et AD dans la figure ci-dessus. Dès lors les

segments BC,BD et CD sont tous trois rouges, sinon l’un des triangles ABC ou ABD ou ACD serait monocolore (bleu). Mais alors BCD est monocolore (rouge).

Il y a C(6,3) = 20 triangles dont les sommets sont choisis parmi les six points A,B,C,D,E et F.

Dans chacun de ces triangles, on identifie par un trait noir épais le côté qui est le plus grand et qui est unique car les quinze distances qui séparent les points sont toutes différentes. Une fois que tous ces plus grands côtés ont été identifiés, on dispose d’un coloriage à deux couleurs avec les côtés en trait noir épais qui sont au moins une fois les plus grands côtés de triangles et les côtés en trait rouge fin qui n’ont pas cette propriété. Il existe au moins deux segments en trait rouge fin qui sont les deux plus petits segments parmi les quinze.

D’après le lemme (L), il y a au moins un triangle monocolore parmi les vingt triangles. A priori, il peut être noir ou rouge. Il ne peut pas être rouge, car le plus grand côté de ce triangle serait en noir. D’où contradiction. Le triangle monocolore est donc noir. Le plus petit côté de ce triangle est alors le plus grand côté d’un triangle adjacent.

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Solution n°2

On colorie les segments qui sont les plus grands côtés des vingt triangles en vert et on dénombre le nombre minimum N des segments qui ont cette caractéristique :

- avec quatre points, on a évidemment N = 2. Voir figure ci-après :

- avec cinq points, on a N = 5 selon le schéma ci-après :

- avec six points, N = 9 selon le schéma suivant (S) :

Les extrémités des 9 segments coloriés en vert sont délimités par 18 points. Dès lors soit 3 segments coloriés en vert partent de chacun des six points (6*3 = 18), soit il existe au moins un point d’où partent quatre segments coloriés en vert. Dans un cas comme dans l’autre, un triangle monocolore vert apparaît nécessairement. Soient AB,AC et AD trois segments verts issus de A. L’un des côtés du triangle BCD est le plus grand et rend alors monocolore soit ABC soit ACD soit ABD.

La suite du raisonnement est la même que dans la première solution.

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