Le plus court chemin entre deux points

(1)

Le plus court chemin ...

La plus petite surface ...

Surfaces `a courbure moyenne constante (non nulle)

Le minimum avec des bulles

Frédéric Hélein, Université Paris 7 Institut de Mathématiques de Jussieu

Fˆete de la Science

Vendredi 28 septembre 2007

Frédéric Hélein, Université Paris 7 Institut de Mathématiques de Jussieu FˆLe minimum avec des bullesete de la Science

(2)

... entre deux points ... entre trois points ... entre quatre points

Le plus court chemin entre deux points

◮

R´eponse connue depuis Euclide

(3)

Le plus court chemin entre deux points

◮

R´eponse connue depuis Euclide

◮

C’est un segment de droite !

A B

Figure: le plus court chemin entre les points A et B

(4)

Le plus court chemin entre trois points

◮

Il doit y avoir au moins un “carrefour” o` u aboutissent trois

chemins

(5)

Le plus court chemin entre trois points

◮

Il doit y avoir au moins un “carrefour” o` u aboutissent trois chemins

◮

et chaque “bout de chemin” doit ˆetre un segment de droite

(6)

Le plus court chemin entre trois points

◮

Il doit y avoir au moins un “carrefour” o` u aboutissent trois chemins

◮

et chaque “bout de chemin” doit ˆetre un segment de droite

◮

R´eponse :

A

B

C 120°

120°

Figure: le plus court chemin entre les points A, B et C

(7)

Le plus court chemin entre quatre points

◮

a-t-on un ou deux “carrefours” ?

(8)

Le plus court chemin entre quatre points

◮

a-t-on un ou deux “carrefours” ?

◮

R´eponse :

120°

A

B

C

D

Figure: le plus court chemin entre les points A, B, C et D

(9)

... s’appuyant sur une courbe ferm´ee Surfaces minimales

Le probl`eme de Plateau I Le probl`eme de Plateau II

La plus petite surface s’appuyant sur une courbe ferm´ee

◮

satisfait une condition g´eom´etrique en chacun de ses points

(10)

La plus petite surface s’appuyant sur une courbe ferm´ee

◮

satisfait une condition g´eom´etrique en chacun de ses points

◮

en tout point de la surface,

la courbure moyenne est nulle

R 1 R 2

Figure: la courbure moyenne en un point est : H= ¹₂

1 R1 +_R¹

2

(11)

Surfaces minimales

◮

on appelle surface minimale toute surface dont la courbure moyenne est nulle partout

(12)

Surfaces minimales

◮

on appelle surface minimale toute surface dont la courbure moyenne est nulle partout

◮

´equations d´ecouvertes par Leonhardt Euler (1707–1783),

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

(13)

Surfaces minimales

◮

on appelle surface minimale toute surface dont la courbure moyenne est nulle partout

◮

´equations d´ecouvertes par Leonhardt Euler (1707–1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

◮

comprises g´eom´etriquement par Gaspard Monge (1746–1818) et Karl Friedrich Gauss (1777–1855)

(14)

Surfaces minimales

◮

on appelle surface minimale toute surface dont la courbure moyenne est nulle partout

◮

´equations d´ecouvertes par Leonhardt Euler (1707–1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

◮

comprises g´eom´etriquement par Gaspard Monge (1746–1818) et Karl Friedrich Gauss (1777–1855)

◮

conjecture par Lagrange : Etant donn´ ee n’importe quelle

courbe ferm´ ee, il existe une surface minimale qui s’appuie sur

cette courbe

(15)

Surfaces minimales

◮

on appelle surface minimale toute surface dont la courbure moyenne est nulle partout

◮

´equations d´ecouvertes par Leonhardt Euler (1707–1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

◮

comprises g´eom´etriquement par Gaspard Monge (1746–1818) et Karl Friedrich Gauss (1777–1855)

◮

conjecture par Lagrange : Etant donn´ ee n’importe quelle courbe ferm´ ee, il existe une surface minimale qui s’appuie sur cette courbe

◮

solution exp´erimentale : par les films de savon (Joseph Plateau , 1801–1883)

(16)

Le probl`eme de Plateau I

◮

il s’agit de d´emontrer

math´ematiquement

la conjecture de

Lagrange :

(17)

Le probl`eme de Plateau I

◮

il s’agit de d´emontrer

math´ematiquement

la conjecture de Lagrange :

◮

Etant donn´ ee une courbe ferm´ ee, il existe une surface minimale dont le bord est cette courbe

(18)

Le probl`eme de Plateau I

◮

il s’agit de d´emontrer

math´ematiquement

la conjecture de Lagrange :

◮

Etant donn´ ee une courbe ferm´ ee, il existe une surface minimale dont le bord est cette courbe

◮

Solution par : Ren´e Garnier (1928), Jesse Douglas , Tibor Rado (1931), E. R. Reifenberg , E. de Giorgi (1960), W.

H. Fleming (1962), R. Osserman , R. Gulliver , H. L.

Royden (1970 `a 1973)

(19)

Le probl`eme de Plateau II

◮

question suivante : que se passe-t-il si on remplace le bord par un poly`edre ?

(20)

Le probl`eme de Plateau II

◮

question suivante : que se passe-t-il si on remplace le bord par un poly`edre ?

◮

réponse conjecturée par Plateau : on obtient des morceaux de surfaces minimales et deux types de singularités

(“carrefours”)

(21)

Les singularit´es (“carrefours”) de Plateau

◮

une ligne : 3 surfaces se rencontrent le long d’une courbe en formant des angles de 120

^◦

(2π/3 radians) entre eux

(22)

◮

un point : 6 surfaces se rencontrent le long de 4 courbes qui se rencontrent en un point

◮

ce problème a été complètement résolu vers 1970 (F.

Almgren , J. Taylor , ...), suite aux travaux de H.

Lebesgue , G. de Rham , E. R. Reifenberg , H. Federer ,

E. de Giorgi , W. H. Fleming ...

(23)

Le tore de Wente

◮

Le tore de Wente

Figure: vue en coupe d’une moiti´e (source : Sato Katsunori, Universit´e de Kobe)