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Fête de la Science 2013 Le plus court chemin

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(1)

Fête de la Science 2013

Le plus court chemin

Colette Anné

Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

(2)

c’est la ligne droite !

A

B

(3)

géométrie euclidienne

A

B

A

B p

f(p) C

D

On construit l’application f : R 2 → R 2 qui a un point p associe sa projection orthogonale sur la droite (AB).

Cette application raccourcit les distances (théorème de Pythagore).

(4)

géométrie euclidienne

A

B

A

B p

f(p) C

D

On construit l’application f : R 2 → R 2 qui a un point p associe sa projection orthogonale sur la droite (AB).

Cette application raccourcit les distances (théorème de Pythagore).

(5)

chemin courbe

A

B

c(t)

c : [0, 1] → R 2 c(0) = A, c (1) = B

quelle est la longueur de cette courbe ?

(6)

chemin courbe

A

B

c(t)

c : [0, 1] → R 2 c(0) = A, c (1) = B

quelle est la longueur de cette courbe ?

(7)

géométrie différentielle

A

B

c(t)

c’(t)

La longueur de la courbe est l (c ) = R 1

0 kc 0 (t)kdt.

on se restreint à des chemins lisses

(8)

géométrie différentielle

A

B

c(t)

c’(t)

La longueur de la courbe est l (c ) = R 1

0 kc 0 (t)kdt.

on se restreint à des chemins lisses

(9)

l (c ) = R 1

0 kc 0 (t )kdt

x y

v

• un vecteur v = (x , y ) a une longueur donnée par une norme : kv k = p

x 2 + y 2

c(t) c(t+dt)

c’(t)

• la courbe c admet en chaque point un vecteur tangent c 0 (t)

• sur un écart dt la courbe se confond avec sa tangente qui sur cet écart a une longueur kc 0 (t)kdt

ensuite on intègre : on fait la somme continue de toutes ces longueurs.

(10)

l (c ) = R 1

0 kc 0 (t )kdt

x y

v

• un vecteur v = (x , y ) a une longueur donnée par une norme : kv k = p

x 2 + y 2

c(t) c(t+dt)

c’(t)

• la courbe c admet en chaque point un vecteur tangent c 0 (t)

• sur un écart dt la courbe se confond avec sa tangente qui sur cet écart a une longueur kc 0 (t)kdt

ensuite on intègre : on fait la somme continue de toutes ces longueurs.

(11)

l (c ) = R 1

0 kc 0 (t )kdt

x y

v

• un vecteur v = (x , y ) a une longueur donnée par une norme : kv k = p

x 2 + y 2

c(t) c(t+dt)

c’(t)

• la courbe c admet en chaque point un vecteur tangent c 0 (t)

• sur un écart dt la courbe se confond avec sa tangente qui sur cet écart a une longueur kc 0 (t)kdt

ensuite on intègre : on fait la somme continue de toutes ces longueurs.

(12)

l ([AB ]) ≤ l (c )

On reprend notre projection orthogonale

A

B

c(t)

f(c(t))

on utilise encore que la projection orthogonale raccourcit les longueurs :

la longueur de la courbe f (c (t)) est plus courte que celle de c (t).

(13)

mesurer des longueurs de chemin dans d’autres espaces

structure différentielle (la courbe c admet en chaque point un vecteur tangent c 0 (t))

chaque vecteur tangent a une longueur (kv k = p

x 2 + y 2 )

on va demander plus : chaque plan tangent est muni d’un produit scalaire

< v 1 , v 2 >= x 1 x 2 + y 1 y 2 , kv k = √

< v , v >

en plus de la notion de longueur on a une notion d’angle

un tel espace s’appelle une variété riemannienne

(14)

mesurer des longueurs de chemin dans d’autres espaces

structure différentielle (la courbe c admet en chaque point un vecteur tangent c 0 (t))

chaque vecteur tangent a une longueur (kv k = p

x 2 + y 2 )

on va demander plus : chaque plan tangent est muni d’un produit scalaire

< v 1 , v 2 >= x 1 x 2 + y 1 y 2 , kv k = √

< v , v >

en plus de la notion de longueur on a une notion d’angle

un tel espace s’appelle une variété riemannienne

(15)

mesurer des longueurs de chemin dans d’autres espaces

structure différentielle (la courbe c admet en chaque point un vecteur tangent c 0 (t))

chaque vecteur tangent a une longueur (kv k = p

x 2 + y 2 )

on va demander plus : chaque plan tangent est muni d’un produit scalaire

< v 1 , v 2 >= x 1 x 2 + y 1 y 2 , kv k = √

< v , v >

en plus de la notion de longueur on a une notion d’angle

un tel espace s’appelle une variété riemannienne

(16)

mesurer des longueurs de chemin dans d’autres espaces

structure différentielle (la courbe c admet en chaque point un vecteur tangent c 0 (t))

chaque vecteur tangent a une longueur (kv k = p

x 2 + y 2 )

on va demander plus : chaque plan tangent est muni d’un produit scalaire

< v 1 , v 2 >= x 1 x 2 + y 1 y 2 , kv k = √

< v , v >

en plus de la notion de longueur on a une notion d’angle

un tel espace s’appelle une variété riemannienne

(17)

mesurer des longueurs de chemin dans d’autres espaces

structure différentielle (la courbe c admet en chaque point un vecteur tangent c 0 (t))

chaque vecteur tangent a une longueur (kv k = p

x 2 + y 2 )

on va demander plus : chaque plan tangent est muni d’un produit scalaire

< v 1 , v 2 >= x 1 x 2 + y 1 y 2 , kv k = √

< v , v >

en plus de la notion de longueur on a une notion d’angle

un tel espace s’appelle une variété riemannienne

(18)

mesurer des longueurs de chemin dans d’autres espaces

structure différentielle (la courbe c admet en chaque point un vecteur tangent c 0 (t))

chaque vecteur tangent a une longueur (kv k = p

x 2 + y 2 )

on va demander plus : chaque plan tangent est muni d’un produit scalaire

< v 1 , v 2 >= x 1 x 2 + y 1 y 2 , kv k = √

< v , v >

en plus de la notion de longueur on a une notion d’angle

un tel espace s’appelle une variété riemannienne

(19)

géométrie riemannienne

Bernhard Riemann (1826–1866)

(20)

exemple de variété riemannienne : la sphère S 2

x y z

N

dans R 3 on a un produit scalaire < v 1 , v 2 >= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

S 2 = {v ∈ R 3 , kv k = 1}

le produit scalaire de R 3 définit un produit scalaire sur chaque plan tangent

de S 2

(21)

exemple de variété riemannienne : la sphère S 2

x y z

N

dans R 3 on a un produit scalaire < v 1 , v 2 >= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

S 2 = {v ∈ R 3 , kv k = 1}

le produit scalaire de R 3 définit un produit scalaire sur chaque plan tangent

de S 2

(22)

exemple de variété riemannienne : la sphère S 2

x y z

N

dans R 3 on a un produit scalaire < v 1 , v 2 >= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

S 2 = {v ∈ R 3 , kv k = 1}

le produit scalaire de R 3 définit un produit scalaire sur chaque plan tangent

de S 2

(23)

exemple de variété riemannienne : la sphère S 2

x y z

N

dans R 3 on a un produit scalaire < v 1 , v 2 >= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

S 2 = {v ∈ R 3 , kv k = 1}

le produit scalaire de R 3 définit un produit scalaire sur chaque plan tangent

de S 2

(24)

chemin qui minimise la longueur

les chemins qui minimisent la longueur s’appellent des géodésiques.

domaines du plan R 2

A B

problème d’unicité de la géodésique

A B

O

problème d’existence

O n’est pas dans le domaine

(la variété n’est pas complète)

(25)

chemin qui minimise la longueur

les chemins qui minimisent la longueur s’appellent des géodésiques.

domaines du plan R 2

A B

problème d’unicité de la géodésique

A B

O

problème d’existence

O n’est pas dans le domaine

(la variété n’est pas complète)

(26)

chemin qui minimise la longueur

les chemins qui minimisent la longueur s’appellent des géodésiques.

domaines du plan R 2

A B

problème d’unicité de la géodésique

A B

O

problème d’existence

O n’est pas dans le domaine

(la variété n’est pas complète)

(27)

chemin qui minimise la longueur

les chemins qui minimisent la longueur s’appellent des géodésiques.

domaines du plan R 2

A B

problème d’unicité de la géodésique

A B

O

problème d’existence

O n’est pas dans le domaine

(la variété n’est pas complète)

(28)

chemin qui minimise la longueur

les chemins qui minimisent la longueur s’appellent des géodésiques.

domaines du plan R 2

A B

problème d’unicité de la géodésique

A B

O

problème d’existence

O n’est pas dans le domaine

(la variété n’est pas complète)

(29)

chemin qui minimise la longueur

les chemins qui minimisent la longueur s’appellent des géodésiques.

domaines du plan R 2

A B

problème d’unicité de la géodésique

A B

O

problème d’existence

O n’est pas dans le domaine

(la variété n’est pas complète)

(30)

géodésiques

Propriétés générales

Il y a localement existence et unicité : les géodésiques vérifient une équation différentielle qui, dans une carte, s’écrit

c 00 (t) + F (c 0 (t), c (t)) = 0

(équation d’Euler-Lagrange de la fonction longueur d’une courbe)

l’image d’une géodésique par une isométrie est une géodésique.

(31)

géodésiques

Propriétés générales

Il y a localement existence et unicité : les géodésiques vérifient une équation différentielle qui, dans une carte, s’écrit

c 00 (t) + F (c 0 (t), c (t)) = 0

(équation d’Euler-Lagrange de la fonction longueur d’une courbe)

l’image d’une géodésique par une isométrie est une géodésique.

(32)

géodésiques

Propriétés générales

Il y a localement existence et unicité : les géodésiques vérifient une équation différentielle qui, dans une carte, s’écrit

c 00 (t) + F (c 0 (t), c (t)) = 0

(équation d’Euler-Lagrange de la fonction longueur d’une courbe)

l’image d’une géodésique par une isométrie est une géodésique.

(33)

géodésiques sur S 2

(34)

géodésiques sur S 2

O

A

B

• soient A et B deux points sur la sphère

• le plan passant par les trois points A, B, O coupe la sphère suivant un grand cercle

soit s la symétrie orthogonale par rapport à ce plan

(35)

géodésiques sur S 2

O

A

B

• soient A et B deux points sur la sphère

• le plan passant par les trois points A, B, O coupe la sphère suivant un grand cercle

soit s la symétrie orthogonale par rapport à ce plan

(36)

géodésiques sur S 2

O

A

B

• soient A et B deux points sur la sphère

• le plan passant par les trois points A, B, O coupe la sphère suivant un grand cercle

soit s la symétrie orthogonale par rapport à ce plan

(37)

géodésiques sur S 2

O

A B c

s(c) P

s(P)

• s est une isométrie de S 2

• si c est une géodésique s (c ) aussi

• si A et B sont proches c = s(c ) (unicité)

• les grands cercles sont des géodésiques (existence)

théorème

les géodésiques de S 2 sont les grands cercles.

toutes les géodésiques sont fermées, il n’y a pas unicité globale

(38)

géodésiques sur S 2

O

A B c

s(c) P

s(P)

• s est une isométrie de S 2

• si c est une géodésique s (c ) aussi

• si A et B sont proches c = s(c ) (unicité)

• les grands cercles sont des géodésiques (existence)

théorème

les géodésiques de S 2 sont les grands cercles.

toutes les géodésiques sont fermées, il n’y a pas unicité globale

(39)

géodésiques sur S 2

O

A B c

s(c) P

s(P)

• s est une isométrie de S 2

• si c est une géodésique s (c ) aussi

• si A et B sont proches c = s(c ) (unicité)

• les grands cercles sont des géodésiques (existence)

théorème

les géodésiques de S 2 sont les grands cercles.

toutes les géodésiques sont fermées, il n’y a pas unicité globale

(40)

géodésiques sur S 2

O

A B c

s(c) P

s(P)

• s est une isométrie de S 2

• si c est une géodésique s (c ) aussi

• si A et B sont proches c = s(c ) (unicité)

• les grands cercles sont des géodésiques (existence)

théorème

les géodésiques de S 2 sont les grands cercles.

toutes les géodésiques sont fermées, il n’y a pas unicité globale

(41)

géodésiques sur S 2

O

A B c

s(c) P

s(P)

• s est une isométrie de S 2

• si c est une géodésique s (c ) aussi

• si A et B sont proches c = s(c ) (unicité)

• les grands cercles sont des géodésiques (existence)

théorème

les géodésiques de S 2 sont les grands cercles.

toutes les géodésiques sont fermées, il n’y a pas unicité globale

(42)

géodésiques sur S 2

O

A B c

s(c) P

s(P)

• s est une isométrie de S 2

• si c est une géodésique s (c ) aussi

• si A et B sont proches c = s(c ) (unicité)

• les grands cercles sont des géodésiques (existence)

théorème

les géodésiques de S 2 sont les grands cercles.

toutes les géodésiques sont fermées, il n’y a pas unicité globale

(43)

itinéraire Paris – San Francisco

animation

(44)

itinéraire Paris – San Francisco

animation

(45)

géodésiques fermées sur une sphère cabossée

Birkhoff montre en 1917 qu’il y a au moins une géodésique fermée

Klingenberg montre en 1982 qu’il y en a toujours au moins trois

(46)

géodésiques fermées sur une sphère cabossée

Birkhoff montre en 1917 qu’il y a au moins une géodésique fermée

Klingenberg montre en 1982 qu’il y en a toujours au moins trois

(47)

géodésiques fermées sur une sphère cabossée

Birkhoff montre en 1917 qu’il y a au moins une géodésique fermée

Klingenberg montre en 1982 qu’il y en a toujours au moins trois

(48)

géodésiques fermées sur une sphère en géométrie Finsler

La norme ne vient pas d’un produit scalaire.

Math. Ann. (2010) 346:335–366

DOI 10.1007/s00208-009-0401-1 Mathematische Annalen

The existence of two closed geodesics on every Finsler 2-sphere

Victor Bangert · Yiming Long

Received: 3 May 2006 / Revised: 20 May 2008 / Published online: 8 August 2009

© Springer-Verlag 2009

Abstract In this paper, we prove that for every Finsler metric on S 2 there exist at least two distinct prime closed geodesics.

Mathematics Subject Classification (2000) 58E05· 58E10· 37J45 · 53C22

il existe un exemple avec exactement 2 géodésiques fermées (Katok, 1973)

(49)

géodésiques fermées sur une sphère en géométrie Finsler

La norme ne vient pas d’un produit scalaire.

Math. Ann. (2010) 346:335–366

DOI 10.1007/s00208-009-0401-1 Mathematische Annalen

The existence of two closed geodesics on every Finsler 2-sphere

Victor Bangert · Yiming Long

Received: 3 May 2006 / Revised: 20 May 2008 / Published online: 8 August 2009

© Springer-Verlag 2009

Abstract In this paper, we prove that for every Finsler metric on S 2 there exist at least two distinct prime closed geodesics.

Mathematics Subject Classification (2000) 58E05· 58E10· 37J45 · 53C22

il existe un exemple avec exactement 2 géodésiques fermées (Katok, 1973)

(50)

géodésiques fermées sur une sphère en géométrie Finsler

La norme ne vient pas d’un produit scalaire.

Math. Ann. (2010) 346:335–366

DOI 10.1007/s00208-009-0401-1 Mathematische Annalen

The existence of two closed geodesics on every Finsler 2-sphere

Victor Bangert · Yiming Long

Received: 3 May 2006 / Revised: 20 May 2008 / Published online: 8 August 2009

© Springer-Verlag 2009

Abstract In this paper, we prove that for every Finsler metric on S 2 there exist at least two distinct prime closed geodesics.

Mathematics Subject Classification (2000) 58E05· 58E10· 37J45 · 53C22

il existe un exemple avec exactement 2 géodésiques fermées (Katok, 1973)

(51)

géométrie hyperbolique

les surfaces avec plusieurs anses

voir le film Chaos dirigé par Étienne Ghys :

http://www.chaos-math.org/fr

(52)

géométrie hyperbolique

les surfaces avec plusieurs anses

voir le film Chaos dirigé par Étienne Ghys :

http://www.chaos-math.org/fr

(53)

géométrie hyperbolique

les surfaces avec plusieurs anses

voir le film Chaos dirigé par Étienne Ghys :

http://www.chaos-math.org/fr

(54)

système dynamique

D’après Jean-Christophe Yoccoz, c’est essentiellement la donnée de deux choses :

un espace des phases représentant l’ensemble des états possibles du système considéré

une loi d’évolution décrivant le changement infinitésimal (temps continu) de l’état du système, ou une loi d’évolution donnant l’état du système au temps t+1 en fonction de l’état au temps t (temps discret)

application à la mécanique céleste – Henri Poincaré (1854–1912) : les astres sont soumis à la loi de la gravitation universelle (Isaac Newton 1643–1727)

ou à celle de la relativité (Albert Einstein 1879 –1955).

(55)

système dynamique

D’après Jean-Christophe Yoccoz, c’est essentiellement la donnée de deux choses :

un espace des phases représentant l’ensemble des états possibles du système considéré

une loi d’évolution décrivant le changement infinitésimal (temps continu) de l’état du système, ou une loi d’évolution donnant l’état du système au temps t+1 en fonction de l’état au temps t (temps discret)

application à la mécanique céleste – Henri Poincaré (1854–1912) : les astres sont soumis à la loi de la gravitation universelle (Isaac Newton 1643–1727)

ou à celle de la relativité (Albert Einstein 1879 –1955).

(56)

système dynamique

D’après Jean-Christophe Yoccoz, c’est essentiellement la donnée de deux choses :

un espace des phases représentant l’ensemble des états possibles du système considéré

une loi d’évolution décrivant le changement infinitésimal (temps continu) de l’état du système, ou une loi d’évolution donnant l’état du système au temps t+1 en fonction de l’état au temps t (temps discret)

application à la mécanique céleste – Henri Poincaré (1854–1912) : les astres sont soumis à la loi de la gravitation universelle (Isaac Newton 1643–1727)

ou à celle de la relativité (Albert Einstein 1879 –1955).

(57)

système dynamique

D’après Jean-Christophe Yoccoz, c’est essentiellement la donnée de deux choses :

un espace des phases représentant l’ensemble des états possibles du système considéré

une loi d’évolution décrivant le changement infinitésimal (temps continu) de l’état du système, ou une loi d’évolution donnant l’état du système au temps t+1 en fonction de l’état au temps t (temps discret)

application à la mécanique céleste – Henri Poincaré (1854–1912) :

les astres sont soumis à la loi de la gravitation universelle (Isaac Newton 1643–1727)

ou à celle de la relativité (Albert Einstein 1879 –1955).

(58)

système dynamique

D’après Jean-Christophe Yoccoz, c’est essentiellement la donnée de deux choses :

un espace des phases représentant l’ensemble des états possibles du système considéré

une loi d’évolution décrivant le changement infinitésimal (temps continu) de l’état du système, ou une loi d’évolution donnant l’état du système au temps t+1 en fonction de l’état au temps t (temps discret)

application à la mécanique céleste – Henri Poincaré (1854–1912) : les astres sont soumis à la loi de la gravitation universelle (Isaac Newton 1643–1727)

ou à celle de la relativité (Albert Einstein 1879 –1955).

(59)

système dynamique

D’après Jean-Christophe Yoccoz, c’est essentiellement la donnée de deux choses :

un espace des phases représentant l’ensemble des états possibles du système considéré

une loi d’évolution décrivant le changement infinitésimal (temps continu) de l’état du système, ou une loi d’évolution donnant l’état du système au temps t+1 en fonction de l’état au temps t (temps discret)

application à la mécanique céleste – Henri Poincaré (1854–1912) : les astres sont soumis à la loi de la gravitation universelle (Isaac Newton 1643–1727)

ou à celle de la relativité (Albert Einstein 1879 –1955).

(60)

billards

les lois de réflexion sont celles de l’optique géométrique

(61)

trajectoire périodique dans un rectangle

(62)

trajectoire périodique dans un rectangle

en existe-t-il avec 3 rebonds ?

(63)

trajectoire périodique dans un rectangle

(64)

trajectoire périodique dans un triangle

en existe-t-il toujours avec 3 rebonds ?

(65)

trajectoire périodique dans un triangle

en existe-t-il toujours avec 3 rebonds ?

(66)

trajectoire périodique dans un triangle équilatéral

(67)

trajectoire périodique dans un triangle

trajectoire de Fagnano (1682-1766) : tous les angles du triangle sont aigus

(68)

trajectoire périodique dans un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, la trajectoire de Fagnano est dégénérée

(69)

trajectoire périodique dans un triangle

question ouverte

Est-ce que dans tout triangle il existe au moins une trajectoire périodique ? (Katok)

• réponse positive dans un triangle dont le plus grand angle est entre 90 et 100 degrés (Richard Schwartz, 2008)

• la trajectoire fermée est de plus en plus longue si on s’approche de 90.

(70)

trajectoire périodique dans un triangle

question ouverte

Est-ce que dans tout triangle il existe au moins une trajectoire périodique ? (Katok)

• réponse positive dans un triangle dont le plus grand angle est entre 90 et 100 degrés (Richard Schwartz, 2008)

• la trajectoire fermée est de plus en plus longue si on s’approche de 90.

(71)

trajectoire périodique dans un triangle

question ouverte

Est-ce que dans tout triangle il existe au moins une trajectoire périodique ? (Katok)

• réponse positive dans un triangle dont le plus grand angle est entre 90 et 100 degrés (Richard Schwartz, 2008)

• la trajectoire fermée est de plus en plus longue si on s’approche de 90.

(72)

fin

crédit images : http://images.math.cnrs.fr/

crédit animations : Anna Borer

merci de votre attention

(73)

fin

crédit images : http://images.math.cnrs.fr/

crédit animations : Anna Borer

merci de votre attention

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