Exercice I. (ESSEC 2019)
Un modèle probabiliste d’une expérience aléatoire représente dans un certain sens le désordre qui intervient dans l’expérience et il est donc naturel que des outils soient introduits qui permettent de mesurer l’intensité de ce désordre. C’est le cas de la notion d’entropie qui fait l’objet du présent problème. On considérera diffé- rentes situations et notamment la façon dont on mesure l’information que deux variables aléatoires s’apportent mutuellement.
Dans la première partie on étudie le cas plus simple techniquement de variables dont la loi admet une densité. Les deuxièmes et troisièmes parties sont consacrées au cas discret. Dans la deuxième partie, on intro- duit les différentes notions d’entropie pour le cas de variables discrètes et dans la troisième partie, on examine comment on peut mesurer l’information apportée mutuellement par deux variables aléatoires.
Toute les variables aléatoires intervenant dans le problème sont définies sur un espace probabilisé(Ω,A,P).
Pour toute variable aléatoireY, on noteraE(Y)son espérance lorsqu’elle existe.
Partie I : entropie différentielle d’une variable à densité
1. La fonction logarithme de base2, notéelog2est définie surR+∗par log2(x) = ln(x) ln(2). a. Montrer que pour tout(x, y)∈R+∗×R+∗, on alog2(xy) = log2(x) + log2(y).
b. Vérifier que pour tout réelα,log2(2α) =α.
c. Montrer que la fonctionlog2est concave surR+∗.
2. SoitX une variable aléatoire réelle à densité et soitf une densité deX. On appellesupportdef l’en- sembleI ={x∈R, f(x)>0}, et on suppose queI est un intervalle deRd’extrémitésaetb(a < b,aetb finis ou infinis). L’entropie différentielledeXest, sous réserve d’existence, le réel
h(X) =− Z b
a
f(x) log2(f(x))dx
Montrer queh(X) =−E(log2(f(X)).
3. SoitXune variable aléatoire de densitéf, de supportI, intervalle deRd’extrémitésaetb. On suppose queXadmet une entropie différentielle.
a. Soitcun réel, et soitY la variable aléatoire définie parY =c+X.
i. Déterminer une densité deY.
ii. Justifier l’existence de l’entropie différentielleh(Y), et la déterminer en fonction deh(X).
b. Soitαun réel strictement positif , et soitZla variable aléatoire définie parZ =αX. i. Déterminer une densité deZ.
ii. Justifier l’existence de l’entropie différentielleh(Z), et la déterminer en fonction deh(X).
4. On détermine dans cette question l’entropie différentielle de quelques variables aléatoires suivant des lois classiques.
a. Soita >0. On considèreXune variable aléatoire de loi uniforme sur[0, a].
i. Donner une densité deX.
ii. Justifier l’existence de l’entropie différentielleh(X), et la déterminer.
iii. Déterminer une condition nécessaire et suffisante surapour queh(X)>0.
b. On considère Y une variable aléatoire de loi normale centrée réduite. Montrer queY admet une entropie différentielle et queh(Y) = 1
2log2(2πe).
c. On considèreZ une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètreλ(λ >0). Montrer queY admet une entropie différentielleh(Z)et la déterminer.
d. Soitf la fonction définie surRparf(x) = 1
2 λe−λ|x| (λ >0) i. Montrer quef est une densité de probabilité surR.
ii. SoitW une variable aléatoire de densitéf. Justifier l’existence de l’entropie différentielleh(W) et la déterminer.
5. On dit qu’un couple(X, Y)de variables aléatoires est un couple gaussien centré si, pour tout(α, β)∈R2, αX+βY est une variable de loi normale centrée, c’est à dire qu’il existeγ ∈Ret une variableZ de loi normale centrée réduite tels queαX+βY a même loi queγZ. On considère un tel couple(X, Y)et on noteσ2la variance deX. On suppose queσ2 >0.
a. Montrer queXsuit une loi normale centrée.
b. Calculerh(X).
c. On suppose désormais queXetY suivent la même loi normale centrée de varianceσ2et on admet que les propriétés de l’espérance des variables discrètes se généralisent aux variables aléatoires quelconques.
i. Montrer queE(XY)existe.
ii. Montrer de plus que, pour tout réelλ,λ2E(Y2) + 2λE(XY) +E(X2)≥0.
iii. En déduire queE(XY)2 ≤E(X2)E(Y2).
iv. On poseρ= E(XY)
σ2 . Montrer queρ∈[−1,1].
v. Que vautρsiXetY sont indépendantes ?
d. On suppose|ρ|<1. On appelleentropie jointedu couple(X, Y)le réel h(X, Y) = log2
2πeσ2p
1−ρ2
i. À quelle conditionh(X, Y)est-elle nulle ?
ii. L’information mutuelledeXetY est définie par
I(X, Y) =h(X) +h(Y)−h(X, Y)
CalculerI(X, Y).
iii. Montrer queI(X, Y)≥0
iv. Quelle est la limite deI(X, Y)quandρtend vers1.
Partie II : généralités sur l’entropie des variables discrètes
SoitAun ensemble fini non vide. On dit queX est une variable aléatoire dont la loi est à supportA, siX est à valeurs dansAet si pour toutx∈A,P(X=x)>0.
1. SoitXune variable de loi à support{0,1,2, . . . , n}oùnest un entier naturel. On appelleentropiedeX le réel
H(X) =−
n
X
k=0
P(X=k) log2(P(X=k))
a. On définit la fonctiong : {0,1,2, . . . , n} → Ren posantg(k) = log2(P(X = k))pourkélément de {0,1,2, . . . , n}. Montrer queH(X) =−E(g(X)).
b. Montrer queH(X)≥0.
c. Soitpun réel tel que0< p <1. On suppose dans cette question queXsuit la loi de BernoulliB(p).
i. CalculerH(X)en fonction dep. On noteψla fonction qui, àp, assoicieH(X).
ii. Montrer queψest concave sur]0,1[.
iii. Déterminer la valeurp0oùψest maximale.
d. On suppose dans cette question que la loi deXest à support{0,1,2,3}avec les probabilités P(X= 0) = 1
2 ; P(X = 1) = 1
4 ; P(X = 2) =P(X= 3) = 1 8 CalculerH(X).
2. On souhaite écrire une fonction en Scilab pour calculer l’entropie d’une variableXdont le support de la loi est de la formeA={0,1,2, . . . , n}oùnest un entier naturel. On suppose que le vecteurPde Scilab est tel que pour toutkdeA,P(k+1)=P(X=k). Compléter la fonction ci dessous d’argumentPqui renvoie l’entropie deX, c’est à dire−
n
X
k=0
P(X=k) log2(P(X =k)).
function h=Entropie(p) ...
endfunction
Si nécessaire, on pourra utiliser l’instructionlength(P) qui donne le nombre d’éléments deP. On souhaite maintenant démontrer quelques inégalités concernant l’entropie.
1. On commence par une inégalité générale, appeléeinégalité de Jensen.
a. SoitN ≥ 2. SoitX une variable aléatoire de loi à support {x1, x2, . . . , xN}, où lesxi sont des élé- ments distincts deR+. On poseP(X=xi) =pi. Montrer que pour tout1≤i≤N, on api<1.
On désire démontrer par récurrence la propriété suivante :
P(N):Pour touteϕfonction convexe surR+, siX est une variable aléatoire à supportA ⊂ R+ avec Card(A) =N,on aE(ϕ(X))≥ϕ(E(X)).
b. Montrer queP(2)est vraie.
c. SoitN ≥ 3. On suppose que P(N −1)est vérifiée. Soitx une variable aléatoire de loi à support A={x1, x2, . . . , xN}où lesxi sont des éléments distincts deR+. On poseP(X=xi) =pi.
Pouritel que1≤i≤N −1, on posep0i = pi
1−pN
. i. Montrer que
N−1
X
i=1
p0i= 1et0< p0i<1pour1≤i≤N −1.
ii. Soit Y une variable aléatoire de loi à support{x1, . . . , xN−1) telle que P(Y = xi) = p0i pour 1≤i≤N −1. Montrer que
n−1
X
i=1
p0iϕ(xi)≥ϕ
N−1
X
i=1
p0ixi
! . iii. Montrer queE(ϕ(X))≥ϕ(E(X)).
d. Montrer que siϕest concave surR+, on aE(ϕ(X))≤ϕ(E(X)).
2. SoitXune variable aléatoire à support{0,1, . . . , n}. On pose, pourktel que0≤k≤n,pk=P(X=k).
a. Montrer que
n
X
k=0
pklog2
1 (n+ 1)pk
≤log2
n
X
k=0
pk
(n+ 1)pk
!
= 0.
b. Montrer que
n
X
k=0
pklog2[(n+ 1)pk] = log2(n+ 1)−H(X).
c. Montrer queH(X)≤log2(n+ 1).
d. On suppose queXsuit une loi uniforme sur{0,1, . . . , n}. CalculerH(X)
3. SoitX et Y deux variables aléatoires de même loi à support{0,1, . . . , n}. On suppose en outreX et Y indépendantes.
a. Montrer queP(X=Y) =
n
X
k=0
(P(X=k))2.
b. On posev(k) =P(X =k)pour toutkélément de{0,1, . . . , n}. Montrer que 2E(log2(v(X)))≤E
2log2(v(X))
=E(v(X))
c. En déduire que2−H(X)≤P(X =Y).
d. Donner un exemple de loi où l’inégalité précédente est une égalité.
Partie III : entropie jointe et information mutuelle de deux variables discrètes
SoientXetY deux variables aléatoires à support{0,1, . . . , n}. On appelleentropie jointedeXetY le réel H(X, Y) =−
n
X
k=0 n
X
j=0
P([X=k]∩[Y =j]) log2(P([X=k]∩[Y =j]))
avec la convention0 log2(0) = 0
1. a. On définit la fonctiong:{0,1, . . . , n}2 →R∪ {−∞}en posant pour(k, j)∈ {0,1, . . . , n}2 g(k, j) = log2(P([X=k]∩[Y =j]))
Montrer queH(X, Y) =−E(g(X, Y)).
b. Montrer queH(X, Y) =H(Y, X).
c. Pour toutktel que0≤k≤n, on pose H(Y /X =k) =−
n
X
j=0
P[X=k](Y =j) log2 P[X=k](Y =j)
On appelleentropie conditionnelledeY sachantXle réel H(Y /X) =
n
X
k=0
P(X =k)H(Y /X =k)
Montrer queH(X, Y) =H(X) +H(Y /X).
d. Montrer que pour tout couple de variables aléatoiresXetYde lois à support{0,1, . . . , n}, on a H(X)−H(X/Y) =H(Y)−H(Y /X)
2. On considère dans cette question deux variables aléatoiresXetY, de lois à support{0,1,2,3}. On sup- pose que la loi conjointe de(X, Y)est donnée par le tableau suivant :
j\k 0 1 2 3
0 1/8 1/16 1/32 1/32
1 1/16 1/8 1/32 1/32
2 1/16 1/16 1/16 1/16
3 1/4 0 0 0
On lit dans lak-ième colonne et laj-ième ligne la valeur deP([X=k]∩[Y =j]) a. Déterminer la loi deXet montrer queH(X) = 7
4. b. Déterminer la loi deY et calculerH(Y).
c. Montrer queH(X/Y) = 11 8 . d. Que vautH(Y /X)?
e. CalculerH(X, Y)
3. SoientX etY deux variables aléatoires à support{0,1, . . . , n}. On appelleinformation mutuelledeX etY le réel
I(X, Y) =
n
X
k=0 n
X
j=0
P([X=k]∩[Y =j]) log2
P([X =k]∩[Y =j]) P(X =k)P(Y =j)
a. Montrer queI(X, Y) =I(Y, X)
b. Montrer queI(X, Y) =H(X)−H(X/Y).
c. Montrer queI(X, X) =H(X)
d. Que vautI(X, Y)siXetY sont indépendantes ?
4. SoientXetY deux variables aléatoires à support{0,1, . . . , n}. On fixe0≤k≤n.
Pour0≤j≤n, on posepj = P([X=k]∩[Y =j]) P(X=k) .
On supposepj >0pour tout0≤j ≤net on posexj = P(X =k)P(Y =j) P([X =k]∩[Y =j]). a. Montrer que
n
X
j=0
pj = 1.
b. SoitZkune variable aléatoire de loi à support{x0, . . . , xn}dont la loi est donnée parP(Zk =xj) =pj pour0≤j≤n. Montrer que
E(log2(Zk))≤0 c. En déduire queI(X, Y)≥0.
Exercice II. (ESSEC 2015)
C’est en 1913 que F.W.Harris, ingénieur chez Westinghouse, établit une première formule très simple liée à un problème de gestion de stocks. C’est l’un des premiers exemples d’intervention des mathématiques dans le management, de solution d’un problème de « recherche opérationnelle » dans une entreprise.
Aujourd’hui, les modèles mathématiques sont très sophistiqués et en s’appuyant sur la puissance de calcul des ordinateurs du vingt-et-unième siècle, on peut les utiliser pour optimiser, au sens que l’on souhaite, la gestion de stocks.
I. Mise en place du problème
En début de période, le stock contient déjà une quantité initiale de produit qi (éventuellement nulle). Le gestionnaire peut alors s’il le souhaite commander une quantité qc de produit, une seule fois, en début de période. Il n’y a pas de réapprovisionnement possible en cours de période.
La quantité totaleq =qi+qcest disponible à la vente pour toute la période à venir.
On définit dans ce problème les constantes strictement positives :
— prix de vente unitaire :v
c’est le prix que rapporte chaque unité de produit vendue ;
— coût de stockage unitaire :k
il s’applique à chaque unité de produit présente à un moment de la période dans le stock ;
— coût d’achat unitaire :c
c’est le prix que coûte chaque unité de produit commandée en début de période ;
— coût fixe en cas d’achat :cF
ce coût forfaitaire s’applique uniquement s’il y a une commande passée en début de période.
Ces quatre constantes sont des réels strictement positifs, et on suppose de plus :v > k+c.
On introduit enfin les variables aléatoires réelles suivantes :
— D, la demande, c’est la quantité de produit qui est demandée durant la période. Sa loi est supposée connue.
— V, la quantité de produit que l’on vend pendant la période.
— B, le bénéfice net sur l’ensemble de la période.
On admet que ces variables aléatoires sont toutes définies sur le même espace probabilisé(Ω,A,P).
1. Pourquoi fait-on l’hypothèsev > k+c?
II. Optimisation du bénéfice moyen sur une période
A. Cas continu
Dans cette partie, on suppose que la variable aléatoireDreprésentant la demande admet une densitéf qui est nulle sur]− ∞,0], et continue et strictement positive sur]0,+∞[.
On noteRla fonction définie sur[0,+∞[parR(x) =P(D > x).
Les quantitésqietqcsont des réels positifs ou nuls.
1. Étude d’une fonction
On définit la fonctionϕsur[0,+∞[par : ϕ(x) =v
Z x 0
R(t)t.−(k+c)x.
a. Montrer queRréalise une bijection de[0,+∞[sur]0,1].
On pose dans la suiteS=R−1
k+c v
.
b. Justifier l’existence et la dérivabilité deϕsur[0,+∞[, et calculer sa dérivée sur cet intervalle.
c. Déterminer les variations deϕsur[0,+∞[.
d. En déduire : pour tout réelxpositif et différent deS,ϕ(x)< ϕ(S).
2. Calcul approché deSavec Scilab
On suppose que l’on a défini une fonction d’entêtefunction r=R(x) qui renvoie la valeur deRau pointx.
SoitXune variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre1.
a. Montrer que :P
R(X)≤ k+c v
=e−S.
b. Compléter le script Scilab qui suit, puis expliquer pourquoi il affiche une valeur approchée deS: k=input(’k=’) ; c=input(’c=’) ; v=input(’v=’) ;
compt = 0 ; for i=1 :1000
X=grand(1,1,"exp",1) if ...
compt = compt+1 ; end
end
disp(’S=’) ; disp(-log(compt/1000)) ; 3. Espérance de vente
La variable aléatoireV représente la quantité de produit vendue sur la période.
On rappelle queq=qi+qcest la quantité de produit disponible à la vente.
Le minimum de deux réelsaetbest noté dans la suitemin(a, b).
a. Justifier :V = min(D, q).
b. Soitgla fonction définie surRparg(x) = min(x, q).
i. Montrer quegest continue surR.
ii. Établir la convergence de l’intégrale Z q
0
xf(x)x..
iii. Montrer queV admet une espérance, et que l’on a :E(V) = Z q
0
xf(x)x.+qR(q).
iv. À l’aide d’une intégration par parties, établir ensuite :E(V) = Z q
0
R(x)x..
4. Bénéfice espéré
Le bénéfice net sur la période est la variable aléatoireB. Ce bénéfice ne prend en compte que les dépenses et recettes de la période considérée. Par exemple, le coût d’achat du stock initialqin’est pas comptabilisé dansB, mais le coût de stockage deqil’est.
Les quantités autres queqi etqcsont considérées comme constantes, on propose par conséquent de no- terβ(qi, qc) =E(B)l’espérance deB.
a. Si on ne commande pas de produit (qc= 0), exprimerBen fonction dev, V, ketqi. En déduire :β(qi,0) =ϕ(qi) +cqi.
b. Si on commande une quantitéqcstrictement positive de produit, exprimerBen fonction dev, V, k, cF, qi, qc. En déduire : pourqc>0,β(qi, qc) =ϕ(qc+qi) +cqi−cF.
5. Optimisation
On cherche à déterminer, en fonction d’une valeur donnée qi du stock initial, quelle est la quantité de produitqcà commander afin d’optimiser l’espérance de bénéfice.
On reprend les notations de la question 2 :S est le réel strictement positif en lequel la fonction ϕ est maximale.
a. On supposeqi ≥S.
Montrer que pour toutqc>0,β(qi, qc)< β(qi,0).
En déduire que la meilleure stratégie est de ne pas acheter de produit.
b. On supposeqi < S.
i. Si on achète une quantité non nulle de produit, montrer que pour optimiser le bénéfice espéré on doit choisirqc=S−qi.
Autrement dit, on complète le stock à la quantitéS.
On définit sur[0, S[la fonctionψparψ(x) =β(x, S−x)−β(x,0).
ii. Établir que pour toutx∈[0, S[:ψ(x) =ϕ(S)−ϕ(x)−cF. iii. En déduire queψest strictement décroissante sur[0, S[.
iv. Montrer que sicF ≥ϕ(S), alorsψest négative sur[0, S[.
Quelle est la bonne stratégie dans ce cas ?
v. Montrer que sicF < ϕ(S), alors il existe un réel uniquer ∈]0, S[en lequelψs’annule en chan- geant de signe.
En déduire que la bonne stratégie est de ne rien commander siqi ≥r et de compléter le stock jusqu’àSsiqi < r.
Conclusion de cette partie : on a mis en place une stratégie à deux seuils :r (seuil de renouvellement) etS (stock optimal). La stratégie consiste à ne rien commander si le stock initial est au moins égal àr, et sinon à acheter la quantité qui complète le stock à la valeurS.
B. Cas discret
Dans cette partie, on suppose que la variable aléatoireDqui représente la demande est à valeurs dansN. Sa loi est définie par la donnée de la suite de nombres(pn)n∈Navecpn=P(D=n).
On suppose que pour tout entier natureln,pn>0.
On poseRn=P(D≥n).
Les quantitésqi,qcsont maintenant des entiers naturels.
1. On définit la suite(ϕn)n∈Nparϕn=v
n
X
k=1
Rk−(k+c)nsin≥1etϕ0 = 0.
a. Donner une relation entrepn,RnetRn+1pour tout entier natureln.
b. En déduire la monotonie de la suite(Rn)n∈N, et préciserR0ainsi que lim
n→∞Rn.
c. Pour n ≥ 1, simplifier ϕn−ϕn−1 et en déduire qu’il existe un entier naturel S tel que ϕS soit la valeur maximale de la suite(ϕn).
2. Calcul deS avec Scilab
On suppose que l’on a défini une fonction d’entêtefunction r=p(n) qui renvoie la valeur depn. Compléter le script Scilab qui suit pour qu’il afficheϕ0, ..., ϕSpuis la valeur deS:
k=input(’k=’) ; c=input(’c=’) ; v=input(’v=’) ; n=0 ; phi=0 ; R=1-p(0) ; disp(phi) ;
while R >= ...
n = n+1 ; phi = phi+... ; disp(phi) R = R-... ; end
disp(’S=’) ;disp(n) ;
3. On rappelle queV = min(D, q)oùq =qi+qc.
a. Montrer queV admet une espérance, donnée par :E(V) =
q−1
X
n=0
npn+qRq. b. Établir :E(V) =
q
X
n=1
Rn.
On pourra utiliser la formule établie à la question 7(a).
4. On note, comme dans la partie II,β(qi, qc)l’espérance du bénéficeB en fonction deqietqc. a. Siqc= 0, établir :β(qi,0) =ϕqi+cqi.
b. Siqc>0, établir :β(qi, qc) =ϕqi+qc+cqi−cF.
Les formules obtenues étant très analogues à celles de la partie A, on peut établir (ce que l’on ne demande pas de faire) que la stratégie à deux seuils reste valable dans le cas discret, les seuils étant alors des entiers.
c. En utilisant le script de la question 8 pour certaines valeurs dek, c et v, on a obtenu les valeurs suivantes, arrondies à deux chiffres après la virgule, pourϕ0, ..., ϕS:
0 4 7,9 11,94 15,77 19,34 22,40 24,75 26,16 26,51
etS = 9. Sachant quecF = 2,5, déterminer à partir de quelle valeur deqiil est préférable de ne pas commander dans ce cas particulier.
III. Évolution du stock dans le temps
On cherche maintenant à modéliser l’évolution du stock sur plusieurs périodes, en se plaçant dans le cas discret. On introduit à cet effet une suite de variables aléatoires(Dn)n∈N∗ qui représentent les demandes aux périodes successives1,2,3, . . .. Ces variables sont supposées indépendantes et suivent toutes la même loi que la variable aléatoire D de la partie II.B. On reprend en particulier les notations pk = P(Dn = k) et Rk = P(Dn≥k), ainsi que l’hypothèsepk >0pour toutk∈N.
Pour tout entier naturel non nuln, on noteXnla variable aléatoire prenant comme valeur l’état du stock en fin de période n(il s’agit donc aussi du stock initial de la périoden+ 1). On suppose qu’au début de la première période, le stock est vide, ce qui justifie la conventionX0= 0(variable aléatoire certaine).
On adopte la stratégie à deux seuils r et S (entiers, vérifiant0 < r < S) mise en place dans les parties précédentes, que l’on rappelle :
— Si au début d’une période le stock est supérieur ou égal àr, on ne commande rien.
— Si le stock initial est inférieur strictement àr, on le complète par une commande qui amène le stock à la valeurS.
Pour toutietjdans[[0, S]], en supposant que le stock initial d’une période donnée est égal àj, on notemi,j
la probabilité pour que le stock à la fin de la période soit égal ài.
On définit la matriceM = (mi,j)0≤i,j≤S. On notera que les lignes et les colonnes deM sont numérotées à partir de0.
1. Soitnun entier naturel.
a. Justifier que la variable aléatoireXnest à valeur dans l’intervalle d’entiers[[0, S]].
Pour toutn∈N, on note alorsUnla matrice colonne qui représente la loi deXn:
Un=
P(Xn= 0) P(Xn= 1)
... P(Xn=S)
b. Justifier que pour touti∈[[0, S]]:P(Xn+1=i) =
S
X
j=0
mi,jP(Xn=j). En déduire :Un+1 =M Un. 2. Étude d’un cas particulier
Dans cette question, on suppose que les constantesk, v, c, cF sont telles que les seuils sontr= 2etS= 3.
a. Montrer que :
M =
R3 R3 R2 R3 p2 p2 p1 p2
p1 p1 p0 p1 p0 p0 0 p0
Pour tout entier naturel n, on note an = P(Xn = 0),bn = P(Xn = 1), cn = P(Xn = 2) etdn = P(Xn= 3), de sorte queUn=
an
bn
cn dn
.
b. i. Vérifier que pour tout entier natureln:cn+1= (p0−p1)cn+p1. ii. En déduire une expression decnen fonction dep0, p1etn.
iii. Montrer que la suite(cn)n∈Nconverge et déterminer sa limiteγ en fonction dep0etp1.
c. Montrer que les suites(an)n∈N,(bn)n∈Net(dn)n∈Nconvergent et déterminer leur limite en fonction dep0,p1,p2etγ.
d. Conclure que la suite(Xn)n∈Nconverge en loi.
3. Existence et unicité d’une loi de probabilité invariante parM On reprend le cas général.
a. Vérifier que tous les coefficients de la première ligne de M (c’est-à-dire m0,j, pourj dans[[0, S]]), sont strictement positifs.
b. i. Montrer que pour toutj∈[[0, S]],
S
X
i=0
mi,j = 1.
ii. Établir que1est une valeur propre detMet préciser quel est un vecteur colonne propre associé à cette valeur propre.
iii. On rappelle le résultat du cours : toute matrice a le même rang que sa transposée.
Montrer que1est valeur propre deM.
c. SoitU un vecteur colonne propre deM associé à la valeur propre1.
Montrer qu’il existe un réelλtel que la matrice colonne V = λU, de coefficients v0, ..., vS, vérifie M V =V,
S
X
j=0
|vj|= 1et l’un au moins des coefficients deV est strictement positif.
d. On suppose queV a aussi l’un au moins des ses coefficients qui est strictement négatif. Montrer que :
S
X
j=0
m0,jvj
<
S
X
j=0
m0,j|vj|et pour touti∈[[1, S]],
S
X
j=0
mi,jvj
≤
S
X
j=0
mi,j|vj|
et en déduire une contradiction, puis que les coefficients deV sont tous positifs.
(pour la première inégalité, on pourra poser
S
X
j=0
m0,jvj
=ε
S
X
j=0
m0,jvj
oùε∈ {−1,1}.)
e. On suppose qu’il existe un deuxième vecteur colonneW, différent deV, vérifiant les mêmes pro- priétés queV.
Montrer qu’il existeα >0, tel queα(V −W)vérifie aussi les mêmes propriétés queV. En déduire une contradiction. Que peut-on en déduire pour la dimension du sous espace propre deM associé à la valeur propre1?
f. On suppose que la suite(Xn)n∈Nconverge en loi vers une certaine variable aléatoireX.
Montrer queXvérifie
P(X= 0) P(X= 1)
... P(X =S)
=V.
