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X Maths 2 MP 2007 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été relu par Rafik Imekraz (ENS Cachan) et Walter Appel (Professeur en CPGE).
Cette épreuve consiste en un sujet d’algèbre linéaire portant sur des triplets d’endomorphismes d’un espace vectoriel complexeX satisfaisant certaines relations de commutation. Il est constitué de quatre parties pouvant parfaitement être abor- dées indépendamment.
• Dans la première partie, on s’intéresse au lien entre la commutation d’endomor- phismes deXet l’existence de sous-espaces vectoriels deXstables par ceux-ci.
• La deuxième partie est consacrée à l’étude de trois endomorphismesE0,F0 et K0définis explicitement par leur action sur une base deX. On établit quelques relations de commutation et l’on détermine ensuite les sous-espaces deXstables par ces endomorphismes.
• Enfin, dans la troisième puis la quatrième partie, on adopte la démarche inverse : partant des relations de commutation entre deux puis trois endomorphismes (qui sont en fait les relations établies au cours de la deuxième partie), on montre l’existence d’une base dans laquelle les endomorphismes considérés ont des ex- pressions similaires à celles deE0, F0 et K0.
Ce sujet est remarquablement court et d’un niveau de difficulté assez faible (surtout pour le concours d’entrée à l’École Polytechnique) : en particulier, les parties II et IV peuvent parfaitement être proposées à des élèves de Mathématiques Supé- rieures. Par ailleurs, les différentes questions sont globalement dépourvues d’origi- nalité et ne requièrent aucune astuce particulière ; certaines se limitent même à des manipulations d’indice pures et simples. Tout ceci nous donne finalement un sujet peu intéressant et peu apte à départager clairement les candidats.
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Indications
Première partie
1 Raisonner sur les espaces propres deA.
2.a Considérer un sous-espace propre de l’endomorphismeB.
2.b Construire un contre-exemple en dimension 2 en prenant pour A1 et A2 deux endomorphismes ayant un vecteur propre commun.
Deuxième partie
3 Évaluer cet endomorphisme en chaque vecteur de la base(x1, . . . , xn).
4 Effectuer une récurrence sur la dimension des sous-espaces stables parF0. 7 Exploiter le résultat de la question 4.
Troisième partie
9 Raisonner par l’absurde en faisant usage de la seconde des relations établies précédemment.
10 Déduire de la question précédente le spectre deE.
11 Montrer d’abord queKer Eest stable parK.
12.b Utiliser le résultat de la question 10.
12.c Appliquer la relationKE =q2EKau vecteurx02.
Quatrième partie
14 Itérer la relation (iii).
16.a Exploiter le résultat de la question 14.
16.c Faire usage de la condition (v).
16.d Appliquer le résultat de la question 15 à l’entierm=n+ 1.
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Première partie
1 L’endomorphisme A admet dans la base B = (x1, . . . , xn) une matrice diago- nale de coefficients diagonaux deux à deux distincts ; il possède donc n valeurs propres distinctes et les sous-espaces propres associés sont les droites vectoriellesCxi
pouri∈[[ 1 ; n]]. Soit maintenant un endomorphismeBdeXcommutant àA: il laisse stable tout sous-espace propre deA. En effet, soientλ∈C et x∈Ker (A−λId ); commeAB = BA, on aA(Bx) = B(Ax) =λBxc’est-à-dire queBx∈Ker (A−λId ).
Ainsi,
∀λ∈C B(Ker (A−λId ))⊂Ker (A−λId ) Concernant la baseB, ∀i∈[[ 1 ; n]] B(xi)∈Cxi
Ceci montre queB est également une base de vecteurs propres de B, dans laquelle cet endomorphisme est par conséquent représenté par une matrice diagonale. Ainsi,
Tout endomorphismeBdeXcommutant àAest aussi représenté par une matrice diagonale dans la baseB.
2.a Supposons que les seuls sous-espaces de X stables par A1, . . . ,Ap soient {0}
etX, et considérons un endomorphismeBdeXcommutant àA1, . . . ,Ap. CommeX est un espace vectoriel complexe,Best un endomorphisme scindé et il possède donc une valeur propreλ. L’espace propre associéKer (B−λId )–qui n’est pas réduit au vecteur nul–est stable parA1, . . . ,Ap puisqu’ils commutent tous àB: c’est doncX.
En conséquence,B =λId ; ainsi,
Si les seuls sous-espaces deXstables parA1, . . . ,Apsont{0}etX, alors tout endo- morphismeBdeXcommutant àA1, . . . ,Apest un multiple scalaire de l’identité.
On a ici affaire à un cas particulier du lemme de Schur, qui intervient dans la théorie de la représentation des groupes.
2.b Pour construire un contre-exemple, fixons n = p = 2 et appelons A1, A2
les endomorphismes admettant pour matrices dans la baseB= (x1, x2): M1=
1 0 0 0
et M2= 1 1
0 0
Soit B un endomorphisme commutant avec A1 et A2. Comme A1 admet dans la baseBune matrice diagonale à coefficients distincts, on déduit de la question 1 que la matriceMdeBdans la baseBest également diagonale. Notons-laM =Diag(a, b); la relation de commutationBA2= A2Bs’écrit alors
MM2= M2M ⇐⇒
a 0 0 b
1 1 0 0
= 1 1
0 0
a 0
0 b
⇐⇒
a a 0 0
= a b
0 0
MM2= M2M ⇐⇒ a=b
Il s’ensuit que M =aI2 etB =aId
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Nous avons prouvé que tout endomorphismeBdeX commutant àA1 et A2 est un multiple scalaire de l’identité. Cependant, la forme des matricesM1etM2montre clairement que la droiteCx1 est stable parA1 etA2. Comme elle n’est égale ni àX ni à{0}pour des raisons de dimensions, on peut alors en déduire que
La réciproque de la propriété établie à la question précédente est fausse.
Pour montrer que cette réciproque est fausse, il nous faut considérer des en- domorphismes laissant stable un sous-espace de X distinct de {0} et deX: c’est ce qui nous a incité à étudier deux endomorphismes en dimension 2 pos- sédant une droite propre ; il suffit pour cela de prendre les endomorphismes canoniquement associés à des matrices triangulaires supérieures.
Deuxième partie
3 Notons L0= K0F0−q−2F0K0. Par définition deF0et K0, on a K0F0(xn) = K0(0) = 0 et F0K0(xn) = F0(q1−nxn) = 0 d’oùL0(xn) = 0. Prenons maintenantp∈[[ 1 ;n−1 ]]. Il vient
(K0F0(xp) = K0(xp+1) =qn−1−2pxp+1=q−2qn+1−2pxp+1
F0K0(xp) = F0(qn+1−2pxp) =qn+1−2pxp+1
si bien queL0(xp) = 0. Ainsi, l’endomorphismeL0envoie tous les vecteurs de la base B= (x1, . . . , xn)sur le vecteur nul, ce qui permet d’affirmer queL0= 0soit
K0F0−q−2F0K0= 0 4 Par définition de F0, on a
ImF0= Vect{F0(x1), . . . ,F0(xn)}= Vect{x2, . . . , xn}
doncF0est de rangn−1. D’après le théorème du rang,Ker F0 est de dimension 1 : comme il contientxn 6= 0, alors Ker F0 = Vect{xn}. Enfin, il est clair que F0n= 0 par définition de cet endomorphisme.
Maintenant, considérons la propriété P définie pour k ∈ [[ 0 ;n]] par P(k):
« si le sous-espaceAest stable parF0 et de dimensionk, alors A est le sous-espace vectoriel engendré par(xn+1−k, . . . , xn). »
• P(0)est vraie puisqueA ={0}= Vect∅lorsquedim A = 0.
• P(k) =⇒P(k+ 1): supposons la propriétéPvraie au rangk∈[[ 0 ; n−1 ]]et considérons un sous-espaceAstable parF0et de dimensionk+ 1. Dans ce cas, F0(A)⊂Aet donc F0(F0(A))⊂F0(A). De surcroît,F0(A) = Aimplique
F0n
(A) = A6={0}
ce qui contredit la relation F0n
= 0; par conséquent, on a F0(A) A et dim F0(A)6k. Le théorème du rang appliqué àF0
A fournit dim A = dim F0(A) + dim Ker F0
A 6dim F0(A) + dim Ker F0
d’où dim F0(A)>dim A−dim Ker F0=k
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