Partie II. Décompositions des endomorphismes de M .

Énoncé

L'objet de ce problème est de montrer que tout automorphisme de l'algèbre des matrices 2×2sur un corpsKest une conjugaison.

Il comporte trois parties. La première rassemble divers résultats utiles pour la suite, la deuxième porte sur une décomposition des endomorphismes de l'espace vectoriel des ma- trices et la troisième démontre le résultat annoncé.

On désigne parMl'algèbre des matrices2×2à coecients dans un corpsK. On adopte les notations suivantes :

E1= 1 0

0 0

, E2= 0 0

1 0

, E3= 0 1

0 0

, E4= 0 0

0 1

, I= 1 0

0 1

La familleB= (E₁, E₂, E₃, E₄)est une base deM, on ne demande pas de le vérier.

On noteL l'ensemble des endomorphismes de M. Un automorphisme de l'algèbreM est un élémentΓdeLbijectif vériant

∀(X, Y)∈ M², Γ(XY) = Γ(X)Γ(Y)

SoitAetB deux matrices deM. On dénit une applicationΦA,B deMdansMpar :

∀X ∈ M, ΦA,B(X) =A X B

Partie I. Outils.

1. Quel est le nombre de lignes et de colonnes de la matrice d'un élément de L dans la baseB? Quelle est la dimension duK-espace vectorielL?

2. a. SoitA etB deux matrices deM, montrer queΦA,B∈ L.

b. SoitB ∈ GL2(K), montrer queΦ_B−1,B est un automorphisme de l'algèbre M. Un automorphisme de ce type est appelé une conjugaison.

3. a. Soitλ∈K, calculerP_λ⁻¹APλ avec P_λ=

1 λ 0 1

, A=

a b c d

b. SoitA∈ Mtelle queP⁻¹AP =Apour touteP ∈GL2(K). Montrer qu'il existe µ∈K tel queA=µI.

4. On note θ l'application de M dans M dénie par θ(X) = ^tX pour tout X ∈ M. Vérier queθ∈ Let calculer la matrice deθdans la baseB.

Partie II. Décompositions des endomorphismes de M .

L'objet de cette partie est de montrer que tout élément de L se décompose en une somme d'au plus quatre endomorphismes de type ΦA,B et de donner des propriétés de telles décomposition.

Dans cette partie,k∈Net(A1,· · ·, Ak),(B1,· · · , Bk)sont deux familles de matrices dans Mavec

Φ = ΦA₁,B₁+· · ·+ ΦA_k,B_k

1. Montrer que sirg(A₁,· · ·, A_k) = 1 alors il existeAetB dansMtels queΦ = Φ_A,B. 2. a. CalculerΦA,B(E1),ΦA,B(E2),ΦA,B(E3),ΦA,B(E4)pour

A= a b

c d

, B=

b1 b3

b2 b4

En déduire la matrice (notéeA◦B) deΦA,B dans la baseB. Vérier l'expression (par blocs) suivante

A◦B=

b1A b2A b3A b4A

b. SoitA,B,P,Qdes éléments deM. Montrer que (P◦Q) (A◦B) = (P A)◦(B Q) 3. Pourientre 1 etk, on note :

Bi= b⁽ⁱ⁾₁ b⁽ⁱ⁾₃ b⁽ⁱ⁾₂ b⁽ⁱ⁾₄

!

pouri∈ {1,· · ·, k}

On note aussi la matrice deΦdansBavec des blocs 2×2 : Mat_BΦ =

U₁ U₂ U₃ U₄

a. Exprimer lesU₁,U₂,U₃,U₄ en fonction desA_i et des éléments des matricesB_i. b. SoitV1,V2,V3,V4dansM. Former la matrice dans Bde

ΦV₁,E₁+ ΦV₂,E₂+ ΦV₃,E₃+ ΦV₄,E₄

4. On dira qu'un élément deL admet une décomposition de longueurk si et seulement si il s'écrit

ΦA₁,B₁+· · ·+ ΦA_k,B_k

avec deux familles(A₁,· · ·, A_k),(B₁,· · ·, B_k)de matrices dansM.

a. Montrer que tout élément deL admet une décomposition de longueur4. b. Montrer que tout élément deL admet une décomposition

ΦA₁,B₁+· · ·+ ΦA_k,B_k

de longueur k ≤ 4 pour laquelle (A1,· · ·, Ak) et (B1,· · ·, Bk) sont libres. (On pourra considérer la plus petite des longueurs possibles).

5. Former une décomposition de longueur4de l'applicationθ(transposition) dénie dans la partie I et montrer qu'elle n'admet pas de décomposition de longueur3.

6. a. On considère des familles(A₁,· · · , A_k),(B₁,· · · , B_k),(B⁰₁,· · ·, B_k⁰), de matrices dansM. On suppose que(A₁,· · ·, A_k)est libre. Montrer que

Φ_A1,B1+· · ·+ Φ_Ak,Bk = Φ_A1,B⁰

1+· · ·+ Φ_Ak,B⁰

k ⇒(∀i∈ {1,· · ·k}B_i=B_i⁰) b. On considère des familles(A₁,· · · , A_k),(A⁰₁,· · ·, A⁰_k),(B₁,· · ·, B_k), de matrices

dansM. On suppose que(B₁,· · · , B_k)est libre. Déduire de la question précédente que

ΦA₁,B₁+· · ·+ ΦA_k,B_k= Φ_A⁰

1,B1+· · ·+ Φ_A⁰

k,Bk ⇒(∀i∈ {1,· · ·k}Ai=A⁰_i)

Partie III. Automorphismes de M .

Dans cette partie Γ désigne un automorphisme de l'algèbre M. En tant qu'élément de L, il admet une décomposition

Γ = ΦA₁,B₁+· · ·+ ΦA_k,B_k

pour laquelle(A1,· · ·, Ak)et (B1,· · · , Bk)sont libres etk≤4.

1. a. Montrer queΓ(I) =I et que, pourX ∈ M,Γ(X) =I si et seulement siX=I. b. SoitX ∈ M, montrer queX est inversible si et seulement siΓ(X)est inversible.

2. a. Montrer que, pour toutientre1etk et toutY ∈ M, Y B_i=B_iΓ(Y), A_iY = Γ(Y)A_i

b. Soiti etj entre1et ketY ∈ Minversible. CalculerΓ(Y⁻¹)A_iB_jΓ(Y).

3. a. Montrer que, pour tousietjentre1etk, il existeλ_i,j∈Ktel queA_iB_j=λ_i,jI. b. Montrer qu'il existe un i tel que λ_i,i 6= 0. On supposera que i = 1. En déduire

queA₁est inversible. Comment s'exprimeB₁? 4. Montrer queΓest une conjugaison.

Corrigé

Partie I. Outils

1. CommeMest de dimension4, la matrice d'un élément deLdansBest4×4. En tant queK-espace vectoriel,Lest de dimension16.

2. a. La linéarité deΦ_A,B est une conséquence de la linéarité du produit matriciel.

b. Par associativité du produit matriciel : Φ_B−1,B(X)Φ_B−1,B(Y) = B⁻¹XB

B⁻¹Y B

=B⁻¹X(BB⁻¹)Y B

= Φ_B⁻¹_,B(XY) pour toutes matricesX etY. De plusΦ_B⁻¹_,Best bijectif car on vérie facilement que

Φ_B−1,B◦Φ_B,B−1 =Id_M

3. a. On peut remarquer quePλest la matrice d'une opération élémentaire, sa matrice inverse est doncP_−λ. Après calculs, on trouve

P_λ⁻¹APλ=

a−λc b+ (a−d)λ−cλ²

c d+λc

b. Comme la propriétéP⁻¹AP = A est vraie pour toutes les matrices inversibles elle doit l'être pour lesP_λ pour tous lesλ. On en déduit

a−λc=a d+λc=d b+ (a−d)λ−cλ²=b







⇒

( λc= 0 λ(a−d−λc) = 0

et comme ceci doit être vérié pour tous lesλ, on en déduitc= 0etd=a. Si on poseµ=a=d, et si on écrit queAcommute avec

0 1 1 0

on obtient queb= 0et queA=µI.

4. La transposition est linéaire et vérieT(XY) =T(Y)T(X). De plus, T(E₁) =E₁, T(E₂) =E₃, T(E₃) =E₂, T(E₄) =E₄

ce qui se traduit par :

MatB(T) =









1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1









=

E1 E2

E3 E4

en notant avec des blocs2×2.

Partie II

1. Sirg(A1,· · ·, Ak) = 1, il existe une matrice A et des scalaires λi tels que Ai =λiA pourientre1 etk. On peut alors écrire, pour toutX ∈ M,

Φ(X) =λ1AXB1+· · ·+λkAXBk=AX(λ1B1+· · ·+λkBk) =AXB

avecB=λ1B1+· · ·+λkBk. 2. a. Calcul desΦA,B(Ei), il vient

ΦA,B(E1) = a b

c d

1 0 0 0

b₁ b₃ b₂ b₄

= a b

c d

b₁ b₃ 0 0

=

ab₁ ab₃ cb₁ cb₃

Φ_A,B(E₂) = a b

c d

0 0 1 0

b₁ b₃ b₂ b₄

= a b

c d

0 0 b₁ b₃

=

bb₁ bb₃ db₁ db₃

Φ_A,B(E₃) = a b

c d

0 1 0 0

b1 b3

b2 b4

= a b

c d

b2 b4

0 0

=

ab2 ab4

cb2 cb4

ΦA,B(E4) = a b

c d

0 0 0 1

b1 b3

b2 b4

= a b

c d

0 0 b2 b4

=

bb2 bb4

db2 db4

Ceci s'écrit encoreΦA,B(E1) =ab1E1+cb1E2+ab3E3+cb3E4,· · ·. On en déduit

A◦B = Mat_BΦ_A,B=









ab₁ bb₁ ab₂ bb₂ cb₁ db₁ cb₂ db₂ ab₃ bb₃ ab₄ bb₄ cb₃ db₃ cb₄ db₄









=

b₁A b₂A b₃A b₄A

b. Pour toutX deM,

Φ_P,Q◦Φ_A,B(X) = Φ_P,Q(AXB) = (P A)X(BQ) = Φ_{P A,BQ}(X)

La matrice dans une base de la composée de deux endomorphismes est le produit des matrices des endomorphismes dans la même base. On peut alors écrire

(P◦Q)(A◦B) = Mat_B(Φ_P,Q◦Φ_A,B) = Mat_B(Φ_{P A,BQ}) = (P A)◦(BQ)

3. a. La matrice deΦdansBest la somme des matrices trouvées en II.1. En identiant les blocs, on obtient

Uj =

k

X

i=1

b⁽ⁱ⁾_j Ai

pourj entre1et 4.

b. D'après la question précédente, la matrice demandée est 1V1 0V1

0V1 0V1

+

0V2 1V2

0V2 0V2

+

0V3 0V3

1V3 0V3

+

0V4 0V4

0V4 1V4

=

V1 V2

V3 V4

4. a. D'après la question précédente, n'importe quelle matrice 4×4, lorsqu'elle est écrite avec des blocs 2×2 apparait comme la matrice d'une somme de quatre matrices d'endomorphismes du typeΦA,B. Ceci est vrai pour la matrice dansB d'un élément quelconque deL qui admet donc une décomposition de longueur4. En particulier, pourΦ∈ L,

Mat_BΦ =

V1 V3

V2 V4

⇒Φ = ΦV₁,E₁+ ΦV₂,E₂+ ΦV₃,E₃+ ΦV₄,E₄

b. Considérons un élément Φ de L. Il admet des décompositions. Considérons le plus petit élément noték de l'ensemble des longueurs des décompositions de Φ. Il existe donc des matricesAi etBitelles que

Φ = Φ_A1,B1+· · ·+ Φ_Ak,Bk

Si(A1,· · ·, Ak)était liée, un de ses vecteurs serait combinaison linéaire des autres.

Cela entraine l'existence d'une décomposition de longueur strictement plus petite.

Par exemple

Ak=λ1A1+· · ·+λ_k−1A_k−1

⇒Φ(X) =

k−1

X

i=1

AiXBi+

k−1

X

i=1

λiAi

!

XBk =

k−1

X

i=1

AiX(Bi+λiBk)

Le raisonnement est analogue avec lesB_i.

5. D'après les questions I.4 et II.3, on peut écrire Mat_B(T) =

E1 E2

E3 E4

⇒θ= ΦE₁,E₁+ ΦE₂,E₂+ ΦE₃,E₃+ ΦE₄,E₄

Supposons que θ admette une décomposition Φ_C1,D1+ Φ_C2,D2 + Φ_C3,D3 de longueur 3. En utilisant II.3.a. et en identiant les blocs on obtient

E₁=d⁽¹⁾₁ C₁+d⁽²⁾₁ C₂+d⁽³⁾₁ C₃ E₂=d⁽¹⁾₂ C₁+d⁽²⁾₂ C₂+d⁽³⁾₂ C₃ E₃=d⁽¹⁾₃ C₁+d⁽²⁾₃ C₂+d⁽³⁾₃ C₃ E₄=d⁽¹⁾₄ C₁+d⁽²⁾₄ C₂+d⁽³⁾₄ C₃

Ces relations sont impossibles car elles signient que les quatre matricesEisont toutes combinaisons de 3 matrices xées(C1, C2, C3). La famille(E1, E2, E3, E4)devrait être liée (condition susante de dépendance) ce qui est évidemment faux.

6. a. Lorsque lesA_i forment un système libre,k est inférieur ou égal à 4. Traduisons l'égalité dansL

Φ_A1,B1+· · ·+ Φ_Ak,Bk= Φ_A1,B⁰

1+· · ·+ Φ_Ak,B⁰

k

par l'égalité des matrices dans la baseB. Identions les blocs dont l'expression vient de II.3.a. On obtient quatre relations entre des matrices2×2

∀j∈ {1,2,3,4},

k

X

i=1

b⁽ⁱ⁾_j Ai=

k

X

i=1

b⁰_j⁽ⁱ⁾Ai

Pour chaquej entre1et 4, le fait que(A₁,· · · , A_k)soit libre entraîne queb⁽ⁱ⁾_j = b⁰_j⁽ⁱ⁾pour tous lesi entre 1 etksoit Bi=B_i⁰.

b. SupposonsPk

i=1AiXBi = Pk

i=1A⁰_iXBi et la famille des Bi libre. Le raisonne- ment précédent ne s'applique pas directement.

On peut s'y ramener en transposant le tout. Comme la transposition est un iso- morphisme deM, la famille(^tB1,· · ·,^tBk)est libre et^tX décritM. Le raisonne- ment précédent donne alors^tAi=^tA⁰_i puisAi=A⁰_i.

Partie III

1. a. Montrons d'abord que Γ(I) = I. En eet, comme Γ est surjective, il existe X dansMtelle queΓ(X) =I. Alors

Γ(I) = Γ(I)I= Γ(I)Γ(X) = Γ(IX) = Γ(X) =I Réciproquement, siΓ(X) =I= Γ(I), l'injectivité deΓentraineX =I. b. SiX est inversible d'inverseY,

I= Γ(I) = Γ(XY) = Γ(X)Γ(Y) doncΓ(X)est inversible d'inverseΓ(Y).

Réciproquement, si Γ(X) est inversible d'inverse Z, comme Γ est surjective, il existe unY tel que Γ(Y) =Z. AlorsI = Γ(X)Z = Γ(X)Γ(Y) = Γ(XY) donc XY = 1 doncX est inversible.

2. a. Fixons un Y quelconque et considérons l'application linéaire X → Γ(XY). CommeΓ(XY) = Γ(X)Γ(Y). On peut en écrire deux décompositions :

∀X ∈ M,

k

X

i=1

AiX Y Bi=

β

X

i=1

AiX BiΓ(Y)

Comme la famille (A1,· · ·, Aβ) est libre, on peut identier (d'après II.6.a) les matrices de droite dans ces relations .

On en tireY Bi=BiΓ(Y)pour tous les ientre1et k.

De même à gauche, en écrivant deux décompositions deX→Γ(Y X)on obtient

∀X ∈ M,

k

X

i=1

AiY XBi=

β

X

i=1

Γ(Y)AiXBi

On en tireAiY = Γ(Y)Ai pour tous les ientre1etk.

b. La question précédente montre que l'on peut, d'une certaine manière, faire passer Y ouY⁻¹de l'autre coté deA_i ouB_j. On en tire

Γ(Y⁻¹)A_iB_jΓ(Y) =A_iY⁻¹Y B_j =A_iB_j

3. a. Comme Γ(Y)⁻¹ décrit l'ensemble des matrices inversibles, la question I.3.b.

montreA_iB_j est une matrice scalaire de la formeλ_ijI avecλ_ij ∈K. On montre de même queB_iA_j =λ_ijIavecλ_ij∈K. En eet

Y⁻¹B_iA_jY =B_iΓ(Y⁻¹)Γ(Y)A_j =B_iA_j

b. On a vu queΓ(I) =I. Exploitons cela avec la décomposition I=A₁IB₁+· · ·+A_kIB_k = (λ_1,1+· · ·+λ_k,k)I

Ceci entraine que la somme desλest égale à1. Il en existe donc au moins un qui est non nul. On suppose que c'estλ₁.

De la relationA₁B₁=λ_1,1Iavecλ_1,16= 0, on tire queA₁ est inversible d'inverse

1

λ_1,1B₁. On rappelle que pour assurer l'inversibilité d'une matrice, l'existence d'un inverse d'un seul côté sut. On en déduit aussi que

B1=λ1,1A⁻¹₁

4. De l'expression de B₁, on déduit que B₁ est inversible. Or, pour tous les Y ∈ M, Y B₁=B₁Γ(Y). On en déduit queΓ(Y) =B₁⁻¹Y₁c'est à dire deΓest une conjugaison.