(ii) f admet une fonction r´eciproque g:J →I

Analyse 2

FONCTIONS ELEMENTAIRES

1. D´eriv´ee d’une fonction r´eciproque

Th´eor`eme. Soient I un intervalle de R et f : I → R une fonction continue et strictement monotone. Alors

(i) J =f(I) est un intervalle ;

(ii) f admet une fonction r´eciproque g:J →I; (iii) g est continue.

Th´eor`eme. Soit f :I →R une fonction d´erivable avec f⁰ > 0 sur I (ou f⁰ <0 sur I). Alors

(i) f admet une fonction r´eciproque g:J =f(I)→I; (ii) g est d´erivable ;

(iii) pour tout y=f(x) dans J, g⁰(y) = 1/f⁰(x).

Notation pratique. On ´ecrit y = f(x), puis dy = f⁰(x)dx. D’o`u g⁰(y) = dx/dy = 1/f⁰(x). Il faut enfin remplacer x par g(y).

2. La fonction exponentielle

Th´eor`eme (admis). Il existe une et une seule fonction d´erivable f :R→R qui satisfait f⁰(x) =f(x) et f(0) = 1.

D´efinition. Cette fonction s’appelle la fonction exponentielle et elle est not´ee f(x) = expx=e^x.

Proposition. La solution de f⁰(x) =kf(x) et f(0) =y0 est y =y0exp(kx).

Th´eor`eme. Pour touta, b∈R, on a exp(a+b) = (expa)(expb).

Corollaire. Pour toutx ∈R, on a expx >0.

Th´eor`eme. Pour toutn∈N, on a (i) ^exp_xn^x →+∞ quand x →+∞; (ii) xⁿexpx→0 quand x → −∞.

Th´eor`eme. La fonction exponentielle est ind´efiniment d´erivable, strictement croissante et son image est l’intervalle ]0,+∞[.

D´efinition. Etant donn´e a = expb > 0, on d´efinit la fonction exponentielle de base a par a^x = exp(bx).

Th´eor`eme. Etant donn´es a > 0 et x, y∈R, on a(a^x)^y =a^xy.

3. La fonction logarithme

D´efinition. La fonction logarithme naturel ln :]0,∞[→ R est la fonction r´eciproque de la fonction exponentielle.

On a donc

x = ln(y) y > 0 ⇔

y = expx x ∈R

Th´eor`eme. La fonction logarithme naturel est la primitive de1/x sur l’intervalle ]0,∞[ qui est nulle en 1.

Th´eor`eme. Pour touta, b >0, on a ln(ab) = lna+ lnb.

Th´eor`eme. On a :

(i) lim_x→+∞lnx= +∞; lim_x→0⁺lnx=−∞; (ii) pour tout n >0, ^ln_xn^x →0 quand x→+∞.

D´efinition. Soit a > 0. La fonction logarithme de base a log_a :]0,∞[→R est la fonction r´eciproque de la fonction exponentielle de base a.

On a donc

x= log_a(y) y > 0 ⇔

y=a^x

x∈R Proposition. Soit a > 0. On a :

(i) log_a(x) = ^ln_ln^x_a ; log_a(a) = 1; (ii) ln(a^x) =x(lna) pour tout x∈R.

4. Les fonctions trigonom´etriques

SoitS ={(x, y)∈R² :x²+y² = 1}le cercle unit´e du planR²avec son orientation trigonom´etrique. La position d’un point P se d´epla¸cant sur ce cercle peut ˆetre d´efinie par son abscisse curviligne, c’est-`a-dire la longueur orient´ee de l’arcAP du cercle, o`uA = (1,0). On identifie cette abscisse curviligne `a l’angleθ deOA`aOP. Par d´efinition, la longueur du cercle est 2π.

D´efinition. Soit θ ∈ R. On d´efinit cosθ et sinθ comme l’abscisse et l’ordonn´ee du pointP du cercleS d´efini par l’angleθ. Pourθ 6= ^π₂ +kπ, on posetanθ = _cos^sinθ_θ. Th´eor`eme. Les fonctionscos et sin ainsi d´efinies v´erifient :

(i) elles sont p´eriodiques de p´eriode 2π; (ii) cos est paire etsin est impaire ; (iii) cos²θ+ sin²θ= 1.

Th´eor`eme. Soient a, b∈R. On a :

(i) cos(a+b) = cosacosb−sinasinb; sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa; 2

(ii) tan(a+b) = _1−tan^tana+tan_atan^b_b.

Lemme. Quand θ →0, ^sin_θ^θ →1.

Th´eor`eme. Les fonctions cos etsin sont d´erivables sur R et on a cos⁰ =−sinet sin⁰ =cos. La fonction tan est d´erivable sur les intervalles ]^π₂ +kπ,^π₂ + (k + 1)π[

et tan⁰ = 1 + tan² = 1/cos².

Proposition. On a acosx +bsinx = Asin(x +ϕ) o`u A = √

a²+b² et ϕ est l’angle du point(b/A, a/A) de S.

5. Les fonctions r´eciproques des fonctions trigonom´etriques

D´efinition. La fonction arcsin : [−1,1] → [−^π₂,^π₂] est la fonction r´eciproque de la restriction de la fonction sin `a l’intervalle[−^π₂,^π₂].

On a donc

x= arcsin(y) y∈[−1,1] ⇔

y = sinx x ∈[−^π₂,^π₂] Proposition. La fonction arcsin est d´erivable sur ]−1,1[ et

(arcsin)⁰(x) = 1

√1−x².

D´efinition. La fonction arccos : [−1,1] → [0, π] est la fonction r´eciproque de la restriction de la fonction cos `a l’intervalle[0, π].

On a donc

x = arccos(y) y∈[−1,1] ⇔

y = cosx x∈[0, π]

Proposition. La fonction arccos est d´erivable sur ]−1,1[ et

(arccos)⁰(x) =− 1

√1−x².

D´efinition. La fonction arctan : R →]− ^π₂,^π₂[ est la fonction r´eciproque de la restriction de la fonction tan`a l’intervalle ]− ^π₂,^π₂[.

On a donc

x= arctan(y)

y ∈R ⇔

y = tanx x∈]− ^π₂,^π₂[ 3

Proposition. La fonction arctan est d´erivable sur R et (arctan)⁰(x) = 1

1 +x².

6. Les fonctions hyperboliques et leurs fonctions r´eciproques D´efinition. On d´efinit le cosinus, le sinus et la tangente hyperboliques par

coshx= e^x+e^−x

2 ; sinhx = e^x−e^−x

2 ; tanhx= e^x−e^−x e^x+e^−x. Th´eor`eme. Les fonctionscosh, sinh et tanh ainsi d´efinies v´erifient :

(i) cosh est paire,sinh et tanh sont impaires ;

(iii) cosh²x−sinh²x= 1 et 1−tanh²x= 1/cosh²x; (iv) cosh⁰ = sinh, sinh⁰ = coshet tanh⁰ = 1−tanh².

D´efinition. La fonctionargsinh:R →Rest la fonction r´eciproque de la fonction sinh.

On a donc x =argsinh(y) ⇔ y= sinhx.

Proposition.

(i) (argsinh)⁰(x) = 1/√

x²+ 1; (ii) argsinhx= ln(x+√

x²+ 1).

D´efinition. La fonction argcosh : [1,+∞[→ [0,+∞[ est la fonction r´eciproque de la restriction de la fonctioncosh `a l’intervalle [0,+∞[.

On a donc

x=argcosh(y) y∈[1,+∞[ ⇔

y= coshx x ∈[0,+∞[

Proposition.

(i) (argcosh)⁰(x) = 1/√

x²−1; (ii) argcoshx= ln(x+√

x²−1).

D´efinition. La fonction argtanh : R →]−1,1[ est la fonction r´eciproque de la fonction tanh.

On a donc

x =argtanh(y) y ∈]−1,1[ ⇔

y= tanhx x∈R Proposition.

(i) (argtanh)⁰(x) = _1−x¹ 2 ; (ii) argtanhx= ¹₂ ln^1+x_1−x.

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