Problème : La décomposition LU
Dans tout ce problème, ndésigne un entier naturel non nul etA une matrice inversiblede taille n.
— On appelle décomposition LU de Atout couple (L, U) où L est une matrice triangulaire infé- rieure à diagonale unitéetU une matrice triangulaire supérieure telles queA=LU.
Par exemple, A=
2 −3 1 −1
−2 2 −3 2 4 −9 −2 3
−2 5 5 −4
=
1 0 0 0
−1 1 0 0
2 3 1 0
−1 −2 1 1
2 −3 1 −1 0 −1 −2 1
0 0 2 2
0 0 0 −5
.
— Pour k ∈ {1,· · ·, n}, on appelle sous-matrice principale d’ordre k de A, la sous-matrice Ak formée à l’intersection deskpremières lignes de Aet desk premières colonnes deA.
Par exemple, avec la matriceA de l’exemple précédent, nous avons
A1 = 2
, A2 =
2 −3
−2 2
, A3=
2 −3 1
−2 2 −3 4 −9 −2
, A4 =
2 −3 1 −1
−2 2 −3 2 4 −9 −2 3
−2 5 5 −4
.
Dans la partie no1, on donne une condition nécessaire et suffisante sur A pour qu’elle admette une décompositionLU. Dans la partie no2, on décrit un algorithme permettant de trouver la décomposition LU précédente. Dans la partie no3, on étudie les matrices de permutations. Enfin dans la partie no4, on démontre que toute matrice inversible admet une décomposition P A=LU.
Partie I
1) Dans cette question, on suppose queA admet une décomposition LU. a) Montrer queL etU sont inversibles.
b) Montrer que l’ensemble des matrices triangulaires inférieures à diagonale unité, notéLn, est un groupe pour le produit matriciel.
c) En déduire l’unicité de la décompositionLU.
2) Montrer que si A possède une décomposition LU alors, pour tout k ∈ {1,· · ·, n}, det(Ak) 6= 0.
Indication : on pourra travailler par blocs.
3) On suppose réciproquement que, pour tout k ∈ {1,· · · , n}, det(Ak) 6= 0 et on va montrer que A admet une décompositionLU.
On écritA=
An−1 C L an,n
par blocs où An−1∈ Mn−1,C∈ Mn−1,1 etL∈ M1,n−1. a) Montrer qu’il existeH ∈ Ln telle que
∀j∈ {1,· · · , n−1}, (HA)n,j = 0.
Indication : en écrivantH =
Hn−1 0n−1,1
L1 1
par blocs, on explicitera une telle matrice H.
b) A l’aide d’une démonstration par récurrence, montrer queAadmet une décomposition LU. Partie II
Dans cette partie, on suppose que A admet une décomposition LU et on voit comment mettre en œuvre une méthode pratique de calcul des matricesLetU. On noteA= (ai,j),L= (li,j)etU = (ui,j).
1) Écrire les égalités donnantai,k en fonction des li,j etuj,k. 2) En déduire les expressions
1
— de ui,k pouri6k, en fonction deai,k, de li,j (pourj < i) et de uj,k (pour j < i).
— de li,k pour i > k, en fonction deai,k, deli,j (pour j < k) et de uj,k (pour j6k).
3) Montrer que les égalités obtenues permettent de calculer de proche en proche tous les coefficients de LetU.
4) Déterminer la décomposition LU de A=
2 −3 1
−2 2 −3 4 −9 2
.
5) Montrer que la matrice A =
0 1 0 1 1 1 0 1 1
est inversible mais ne possède pas de décomposition LU.
Partie III
On dit que P = (pi,j)∈ Mnest une matrice de permutation s’il existeσ ∈Sn telle quepi,j =δi,σ(j), où δi,j désigne le symbole de Kronecker. Dans ce cas, on note alorsP =Pσ.
Par exemple, pourn= 4 etσ= 1 3 4
alorsPσ =
0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
.
1) Que vaut Pσ si σ= Id?
2) Pour(σ, σ0)∈S2n, montrer quePσ◦σ0 =PσPσ0. 3) Montrer quePσ est inversible et calculer son inverse.
4) Montrer que passer deA àPσA revient à appliquer σ sur les − − − − − − de A? Partie IV
On montre dans cette partie que pour toute matrice inversibleA, il existe une matrice de permutation P telle que P Aadmette une décompositionLU.
1) On prouve le résultat énoncé par récurrence surn.
a) Montrer que le résultat est évident sin= 1.
On suppose donc la propriété vraie au rangnet on la démontre au rangn+ 1. Pour cela, on fixe une matrice Ainversible de taille n+ 1.
b) Montrer qu’il existe une matrice de permutation S telle que la sous-matrice principale Bn d’ordrende B =SA soit inversible.
c) En appliquant l’hypothèse de récurrence àBn, montrer qu’il existe une matrice de permuta- tionQ telle queQB admette une décompositionLU.
d) Conclure.
2) Montrer, sur un exemple très simple, que la décomposition P A = LU n’est pas unique en gé- néral.
* * * FIN DU SUJET * * *
2
