On suppose la matrice A inversible

Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee 2005-2006

Licence LM335 deuxi`eme semestre

Examen juin 2007 dur´ee : 2 heures

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Exercice 1 Effectuer la d´ecomposition A=LU de la matrice

A=













−2 1 0 0 0

−4 5 2 0 0

0 −3 −1 −1 0

0 0 −2 4 1

0 0 0 2 −2











 .

Exercice 2 Soit A une matrice dont toutes les sous-matrices principales sont inversibles. Montrer qu’il existe un unique couple de matrices (B, C) tel que A = BC avec B triangulaire inf´erieure et C triangulaire sup´erieure `a diagonale unit´e (i.e. C_i,i = 1).

Exercice 3 On consid`ere la matrice A de M_2n(R) d´ecompos´ee en blocs de ma- trices de M_n(R)

A=

C D D −C

o`u C est sym´etrique, d´efinie positive et D =dI_n, d∈ R. On suppose la matrice A inversible.

1. D´eterminer des matrices triangulaires L_1,1, L_2,1 et L_2,2 de M_n(R), telles que A se factorise sous la forme

A =

L1,1 0 L_2,1 L_2,2

L^T_1,1 L^T_2,1 0 −L^T_2,2

. (1)

2. Soientb ∈R²ⁿ etx∈R²ⁿ l’unique solution du syst`eme lin´eaire Ax=b. En

´

ecrivant

b = b1

b₂

, b1 ∈Rⁿ, b2 ∈Rⁿ et

x= x₁

x₂

, x₁ ∈Rⁿ, x₂ ∈Rⁿ,

1

(a) expliquer comment la factorisation (1) permet de calculerx.

(b) Quel est l’int´erˆet de calculer ainsi x?

3. ´Ecrire la factorisation (1) dans le cas o`u d= 3, n= 2 et C =

1 2 2 13

.

Exercice 4 Soit A ∈ R^n×n une matrice carr´ee sym´etrique d´efinie positive et B ∈ R^n×m. ´Etant donn´e un vecteur b ∈ Rⁿ, on cherche x ∈ Rⁿ et y ∈ R^m tels que

Ax+By = b,

B^tx = 0. (2)

On suppose que la matrice B est rectangulaire (m 6=n) et que son noyau Ker(B) = {y∈R^m, By = 0}

est r´eduit `a l’ensemble {0}.

1. Montrer que

(a) la matrice sym´etrique A⁻¹ est d´efinie positive.

(b) la matrice sym´etrique B^tA⁻¹B est d´efinie positive.

(c) le probl`eme (2) a une solution (x, y) unique.

2. Pour calculer l’unique solution de (2), on utilise la m´ethode it´erative sui- vante :

– On se donne y₀ ∈R^m

– y_k ∈ R^m ´etant connu, on calcule successivement x_k+1 ∈ Rⁿ puis y_k+1 ∈ R^m par

Ax_k+1 = b−By_k,

yk+1 = yk+rB^txk+1. (3) o`ur est un nombre r´eel strictement positif.

(a) Calculery_k+1 en fonction dey_k.

(b) Montrer que la m´ethode it´erative converge ( c’est-`a-dire que les suites (x_k)_k et (y_k)_k convergent) si et seulement si

0< r < 2

µ_max, (4)

µmax d´esignant la plus grande valeur propre de B^tA⁻¹B.

(c) Montrer que toute valeur propre de B^tA⁻¹B est aussi valeur propre de BB^tA⁻¹.

(d) Montrer que

µ_max ≤ β

α, (5)

o`u α est la plus petite valeur propre de A et β la plus grande valeur propre de B^tB.

3. Expliquer comment on peut calculer, en pratique, la solution de (3).

2