UPMC Licence L3 de math´ematiques 13-14
D. Bertrand LM 323 - G´eom´etrie affine et euclidienne
Examen du 12 juin 2014 Dur´ee: 2 heures
Les documents, calculatrices, portables ... ne sont pas autoris´es.
Les 4 ´enonc´es sont ind´ependants. Le barˆeme (sur 25 points) est indicatif.
Les r´eponses devront ˆetre justifi´ees (sauf pour la question de cours).
I Question de cours (4 pts)
SoientE un espace affine de dimension finie, d’espace vectoriel directeurE, etf :E → E une application affine, d’application lin´eaire associ´ee−→
f. Dire dans chacun des cas suivants si l’assertion est correcte. Si la r´eponse est n´egative, donner un contre-exemple.
(a) On suppose que −→
f est injective. Alors, f est injective.
(b) On suppose que −→
f est injective. Alors, f est bijective.
(c) On suppose qu’il existe un vecteur non nul−→v deE tel que−→
f(−→v ) =−→v. Alors, il existe un point P deE tel que f(P) = P.
(d) On suppose que pour tout vecteur non nul −→v de E, on a : −→
f(−→v ) 6= −→v. Alors, f(P)6=P pour tout point P de E.
II(7 pts)
Soit {A, B, C}un rep`ere affine du plan affine. Les coordonn´ees barycentriques (x, y, z), x+y+z = 1, seront relatives `a ce rep`ere. On consid`ere un pointP de la droite (BC), et un pointQ de la droite (AC). On d´esigne par (0, b, c) les coordonn´es barycentriques deP, par (u,0, v) celles de Q, et on pose D=cu+bv+cv. On suppose queD6= 0.
10/ Justifier la forme donn´ee aux coordonn´es barycentriques de P et Q, et v´erifier les relations bv−cu=b−u , D+cv=c+v.
20/ i) Donner les ´equations en coordonn´ees barycentriques des droites (AP) et (BQ), et montrer qu’elles ne sont pas parall`eles.
ii) Calculer les coordonn´ees barycentriques du point R= (AP)∩(BQ). On les mettra sous la forme (Dα,Dβ,Dγ).
30/ Soient E, F etG les milieux respectifs des segments AB, P Qet CR.
i) Calculer leurs coordonn´ees barycentriques.
ii) Montrer que les points E, F, G sont align´es.
T. S. V. P.
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III(7 pts)
Soittun param`ete r´eel. Dans l’espace affineE =R3, muni de son rep`ere cart´esien usuel {0; (−→e1,−→e2,−→e3)}, on consid`ere les points A, B, Pt et les droites affinesD1, D2, D3 d´efinis par
A=
0
−1 0
, B =
1 0 1
, Pt=
0 0 t
, et
D1 =A+R.−→e1, D2 =B+R.−→e2, D3 =R.−→e3 .
10/ D´eterminer la dimension du sous-espace affine Ft engendr´e par D1 et Pt, et donner une ´equation en coordonn´ees cart´esiennes de Ft.
20/ Montrer qu’en dehors d’une valeur t0 de t, que l’on d´eterminera, le sous-espace Ft rencontre D2 en un unique point Qt, et calculer les coordonn´ees cart´esiennes de Qt. 30/ On suppose que t6=t0.
i) Montrer qu’en dehors d’une valeurt1 det, que l’on d´eterminera, (PtQt) est une droite deFt non parall`ele `a la droite D1.
ii) Montrer qu’il existe une infinit´e de droites de E rencontrant `a la fois D1, D2 etD3. IV (7 pts)
On se place dans l’espace affine euclidien orient´e E =R3, dans lequel on consid`ere les applications f :E → E etϕ:E → E d´efinies par
f
x y z
=
y+ 1
z x
, ϕ
x y z
=
x+ 1
z y+ 1
.
10/ Montrer quef est un vissage, dont on d´eterminera l’angle, le vecteur de glissement et l’axe.
20/ Montrer que ϕest une r´eflexion gliss´ee, dont on d´eterminera le vecteur de glissement et une ´equation du plan de r´eflexion.
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