Exercice 1. Dans chacun des cas suivants, d´ eterminer la fonction vers laquelle la suite (f

Universit´ e Grenoble Alpes Licence Sciences et Technologies

MAT402 2016-2017

Contrˆ ole continu 1, ´ el´ ements de correction

Exercice 1. Dans chacun des cas suivants, d´ eterminer la fonction vers laquelle la suite (f

)

converge simplement sur R

, puis ´ etudier la convergence uniforme de cette suite sur R

. Si la convergence uniforme n’a pas lieu sur R

, l’´ etudier sur l’intervalle I sp´ ecifi´ e.

1) f

(x) = ne

+ x

n + x ; I = [0, A], avec A > 0 quelconque.

Pour tout x ≥ 0, f

(x) ∼

n→+∞

ne

/n = e

, donc (f

)

CVS sur R

vers f = 1/ exp.

Pour tous n ∈ N

et x ≥ 0, f

(x) − f(x) = x

− xe

n + x −→

x→+∞

+∞, donc kf − f

k

= ∞, et il n’y a pas CVU de (f

)

vers f sur R

.

Par contre, lorsque A > 0, la fonction continue x 7→ x

− xe

est born´ ee sur [0, A], donc sup

(|f − f

|(x)) ≤ (sup

(|x

− xe

|))/n −→

n→+∞

0, et on a f

−→

n→+∞

f sur [0, A].

2) f

(x) = nx

1 + nx ; I = [a, +∞[, avec a > 0 quelconque.

Pour tout n ∈ N

, f

(0) = 0, et si x > 0, f

(x) −→

x→+∞

1, donc (f

)

CVS sur R

vers f = 1

. Cette fonction limite n’´ etant pas continue en 0, alors que les f

le sont, il n’y a pas CVU sur R

. Mais pour tout a > 0, n ∈ N

et x ≥ a, |f

(x) − f (x)| = (1 + nx)

≤ (1 + na)

−→

n→+∞

0, donc il y a CVU de (f

)

vers f sur [a, +∞[.

3) f

(x) = x sin(nx)e

.

Pour tous n ∈ N

et x ≥ 0, |f

(x)| ≤ xe

≤ sup

(ye

) = 1/(ne) −→

n→+∞

0, donc il y a CVU de (f

)

vers la fonction nulle sur R

.

Exercice 2. Pour chacune des s´ eries de fonctions suivantes, d´ eterminer sur quel sous- ensemble de R

elle converge simplement, puis ´ etudier sa convergence uniforme et sa con- vergence normale sur l’intervalle I sp´ ecifi´ e.

1) X

n≥1

x

1 + x

; I = [0, a], pour un a ∈]0, 1[ quelconque.

Pour tout n ∈ N

,

- si x ∈ [0, 1[, 0 ≤ u

(x) = x

(1 + x

)

∼

n→+∞

x

; la s´ erie g´ eom´ etrique P

n≥1

x

converge ; - u

(1) = 1/2 ;

- si x > 1, u

(x) −→

n→+∞

1.

Ainsi, P

n≥1

u

CVS sur [0, 1[ (elle diverge grossi` erement sur [1, +∞[).

Lorsque a ∈]0, 1[ et x ∈ [0, a], 0 ≤ u

(x) ≤ a

. Comme la s´ erie P

n≥1

a

converge, on en d´ eduit que P

n≥1

u

CVN (et donc CVU) sur [0, a].

2) X

n≥1

(−1)

n + √

x ; I = R

. On pose v

(x) = (−1)

n + √

x . Pour tout x ≥ 0, la suite ((n + √

x)

)

est d´ ecroissante. Par le th´ eor` eme des s´ eries altern´ ees, on obtient que P

n≥1

v

CVS sur R

. On a aussi la majoration du reste : si N ∈ N

et x ≥ 0, alors

∞

X

n=N

(−1)

n + √

x

≤ 1 N + √

x ≤ 1

N −→

N→+∞

0, donc P

n≥1

v

CVU sur R

.

1

2

Par contre, pour tout n ∈ N

, sup

(|(−1)

(n + √

x)

|) = 1/n (car la fonction x 7→ (n + √

x)

est d´ ecroissante sur R

) ; comme la s´ erie P

n≥1

n

diverge, on n’a pas CVN de P

n≥1

v

sur R

.

Exercice 3. Pour tous n ∈ N

et x ∈ R

, on pose u

(x) = 1 n

+ n

x . 1) Montrer que la s´ erie de fonctions X

n∈N^?

u

converge simplement sur R

, et que sa somme

S(x) =

+∞

X

n=1

u

(x) d´ efinit une fonction S continue sur R

.

Pour tous n ∈ N

et x ∈ R

, 0 ≤ u

(x) ≤ 1/n

, donc la s´ erie P

n≥1

u

CVU sur R

. En particulier, elle CVS, et comme chaque u

est continue sur R

, la convergence uniforme implique que la somme S est elle aussi continue.

2) On ´ etudie ` a pr´ esent la d´ erivabilit´ e de S sur R

. Montrer que pour tout a > 0, la s´ erie X

n∈N^?

u

converge normalement sur [a, +∞[. En d´ eduire que S est d´ erivable sur R

. Pour cela, ´ enoncer pr´ ecis´ ement le th´ eor` eme utilis´ e et v´ erifier que ses hypoth` eses sont satisfaites.

On utilise le th´ eor` eme suivant : si P

n≥1

v

est une s´ erie de fonctions d´ erivables sur un intervalle I (en parlant de d´ erivabilit´ e d’un seul cˆ ot´ e aux extr´ emit´ es de l’intervalle, si elles appartiennent ` a celui-ci) qui CVS sur I, et telle que la s´ erie P

n≥1

v

des d´ eriv´ ees CVU sur I, alors la somme S de la s´ erie est une fonction d´ erivable sur I (et pour tout x ∈ I, S

(x) = P

n=1

v

(x)).

Ici, u

(x) = − n

(1 + n

x)

, et pour tout a > 0, si x ≥ a, on a |u

(x)| ≤ n

(1 + n

a)

≤ 1 n

a

. Les hypoth` eses du th´ eor` eme sont donc satisfaites sur I = [a, +∞[, si bien que S est d´ erivable sur [a, +∞[ ; a > 0 ´ etant quelconque, S est d´ erivable sur R

.

3) Pour ´ etudier la d´ erivabilit´ e de S en 0, on forme le taux d’accroissement T (x) = 1

x (S(x) − S(0)), pour x > 0.

a) Montrer que T (x) = −

+∞

X

n=1

n

1 + n

x pour tout x > 0. C’est un calcul direct.

b) Ce taux d’accroissement a-t-il une limite lorsque x tend vers 0 ? Chaque terme n

1 + n

x ´ etant une fonction d´ ecroissante de x > 0, −T est une fonction d´ ecroissante sur R

, et quand x tend vers 0, −T (x) tend vers sup

x∈R^?+

(−T (x)). De plus, on peut intervertir les “sup” :

sup

x∈R^?+

(−T (x)) = sup

x∈R^?+

sup

M∈N^? M

X

n=1

n

1 + n

x = sup

M∈N^?

sup

x∈R^?+

M

X

n=1

n

1 + n

x .

Pour chaque n ∈ N

, le terme dans la somme atteint un maximum pour x = 0, ´ egal ` a n

, donc on calcule ici sup

M∈N^? M

X

n=1

n

= +∞ : quand x tend vers 0, T (x) tend vers −∞.

Remarques : on pourrait utiliser une comparaison s´ erie-int´ egrale, mais ce n’est pas imm´ ediat,

car ` a x > 0 fix´ e, y 7→ y

/(1+y

x) est croissante sur [0, 1/x

], d´ ecroissante sur [1/x

, +∞[.