Universit´e Lille 1 Sciences et Technologies
Examen de Math´ematique
Licence SVTE - S1 28 f´ evrier 2011
dur´ee : 2 heures – ni documents ni calculatrice Pr´ecisez votre num´ero de groupe en haut `a gauche de la copie
Exercice 1
On consid`ere le probl`eme
y0(t) = −t2y(t) pour t≥0 (1)
y(0) = y0 (2)
1. (a) Montrer que la fonction constantef(t) = 0 est solution de (1).
(b) Y a-t-il d’autres solutions constantes ?
2. On suppose quey est une solution de (1) et (2), et on supposey0>0.
(a) Montrer que y(t) >0 pour tout t ≥0 (on admettra que les graphes de deux solutions distinctes de (1) ne se coupent jamais).
(b) Montrer que y est d´ecroissante sur [0; +∞[.
(c) En d´eduire quey(t) a une limite quandt→+∞.
3. On poseu(t) =at3+b etY(t) =eu(t), o`u aet bsont des constantes.
(a) Calculeru0(t) etY0(t).
(b) D´eterminer la constanteapour queY(t) soit solution de (1).
(c) CalculerY(0). Comment faut-il choisirbpour avoir Y(0) =y0?
(d) Calculer limt→+∞Y(t), en prenant pour a et b les valeurs trouv´ees dans les questions pr´ec´edentes.
Exercice 2
Un pr´el`evement sanguin prend a minutes. `a l’instant t compris entre 0 et a, le d´ebit du sang, mesur´e en millilitres par minute, vaut
f(t) = 12 5 at−12
5 t2 .
1. Tracer le tableau de variations def pourt ∈[0;a]. A quel instant le d´ebit est-il maximal ? Donner la valeur maximale du d´ebit en fonction dea.
2. Le volume total de sang pr´elev´e vaut
V = Z a
0
f(t) dt.
CalculerV en fonction dea.
3. Quelle doit ˆetre la dur´ee du pr´el´evement si l’on veut obtenir 400 ml de sang ? Quelle sera alors la valeur maximale du d´ebit au cours du pr´el´evement ?
(suite au verso)
Exercice 3
On consid`ere le probl`eme suivant :
y ∂xu(x, y) +∂yu(x, y) = x (3)
u(x,0) = x (4)
On consid`ere les fonctions
u1(x, y) =xy−y3
3 +x−y2
2 et u2(x, y) =xy−y3 3 +ex−y
2 2
1. Montrer que les fonctionsu1et u2 v´erifient l’´equation (3) pour tous les couples (x, y)∈R2. 2. Laquelle des deux fonctionsu1,u2v´erifie `a la fois (3) et (4) pour tous les couples (x, y)∈R2? 3. D´eterminer les points critiques (ou stationnaires) de la fonctionu1et d´eterminer leur nature.
