TES 5 DS 2 17 octobre 2017 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Vente de cl´e USB (15 minutes) (5 points)
Une entreprise produit en grande s´erie des cl´es USB pour l’industrie informatique.
On pr´el`eve au hasard 100 cl´es dans la production de la journ´ee pour v´erification. La production est assez grande pour que l’on puisse assimiler ce pr´el`evement `a un tirage avec remise de 100 cl´es.
On admet que la probabilit´e qu’une cl´e USB pr´elev´ee au hasard dans la production d’une journ´ee soit d´efectueuse est ´egale `a 0,015.
On consid`ere la variable al´eatoire X qui, `a tout pr´el`evement ainsi d´efini, associe le nombre de cl´es d´efectueuses de ce pr´el`evement.
(1) Justifier que la variable al´eatoireX suit une loi binomiale dont on d´eterminera les param`etres.
(2) Calculer les probabilit´esp(X= 0) et p(X = 1).
(3) Calculer la probabilit´e que, dans un tel pr´el`evement, au plus deux cl´es soient d´efectueuses.
Solution:
1. Pour une cl´e, il n’y a que deux issues : elle est d´efectueuse, avec une probabilit´e p = 0,015, ou elle n’est pas d´efectueuse, avec la probabilit´e 1−p.
La production est assez grande pour que l’on puisse assimiler ce pr´el`evement `a une r´ep´etition de tirage identique et ind´ependant.
On peut en d´eduire que la variable al´eatoireX qui donne le nombre de cl´es d´efectueuses dans le lot de 100 cl´es suit la loi binomiale de param`etresn= 300 etp= 0,015.
2. Quand une variable al´eatoire X suit la loi binomiale de param`etres n et p, la probabilit´e de l’´ev´enementX=kest donn´ee par :
p(X=k) =
n
k
pk(1−p)n−k. On en d´eduit que p(X= 0)≈0,221 etp(X = 1)≈0,336.
3. Au plus deux cl´es soient d´efectueuses correspond `a l’´ev´enementX 62 :
p(X62) =p(X = 0) +p(X= 1) +p(X= 2)≈0,221 + 0,336 + 0,253≈0,810 La probabilit´e qu’au plus deux cl´es soient d´efectueuses est environ 0,810.
Exercice 2 : Trois formules le midi (15 minutes) (6 points)
Un restaurateur propose trois formules `a midi.
Formule A : Plat du jour/Dessert/Caf´e
Formule B : Entr´ee/Plat du jour/Dessert/Caf´e
Formule C : Entr´ee/Plat du jour/Fromage/Dessert/Caf´e
Lorsqu’un client se pr´esente au restaurant pour le repas de midi, il doit choisir une des trois formules propos´ees et commander ou non du vin.
Le restaurateur a constat´e qu’un client sur cinq choisit la formuleA, tandis qu’un client sur deux choisit la formuleB.
On sait aussi que :
• P(A∩V) = 0,05 • P(B∩V¯) = 0,3 • P(V) = 0,45
Un client se pr´esente au restaurant pour le repas du midi. On consid`ere les ´ev`enements suivants : A : Le client choisit la formule A
B : Le client choisit la formule B
C : Le client choisit la formuleC V : Le client commande du vin (1) Calculerp(C).
TES 5 DS 2 Page 2 de 3 (2) Compl´eter le tableau ci-dessous mod´elisant les probabilit´es du probl`eme.
(3) ´Enoncer l’´ev´enement ¯V ∩C et donner sa probabilit´e.
(4) La formule A coˆute 8 euros, la formuleB coˆute 12 euros et la formule C coˆute 15 euros. Le vin est en suppl´ement et coˆute 3 euros. On note D la d´epense en euro d’un client venant manger le midi au restaurant.
a. D´eterminer la loi de probabilit´e de D.
b. Calculer la d´epense moyenne par client en euro.
Solution:
1. p(C) = 1−p(A)−p(B). Or d’apr`es l’´enonc´e, on ap(A) = 15 etp(B) = 12 doncp(C) = 1−1 5−1
2 = 3
10. 2.
A B C Total
V 0,05 0,2 0,2 0,45 V¯ 0,15 0,3 0,1 0,55 Total 0,2 0,5 0,3 1
3. L’´ev´enement ¯V ∩C est : Le client choisit la formule C et ne boit pas du vin.
4. La formuleA coˆute 8 euros, la formuleB coˆute 12 euros et la formuleC coˆute 15 euros. Le vin est en suppl´ement et coˆute 3 euros. On note D la d´epense en euro d’un client venant manger `a midi dans ce restaurant.
(a) La loi de probabilit´e deD est donn´ee par le tableau ci-dessous.
D= 8 11 12 15 18
P roba 0,15 0,05 0,3 0,3 0,2
(b) La d´epense moyenne par client en euro est en fait ici l’esp´erance de Dsoit donc E = 8×0,15 + 11×0,05 + 12×0.3 + 15×0,3 + 18×0,2 = 13,45 Ainsi la d´epense moyenne par client est de 13,45 euros.
Exercice 3 : Probl`eme : ´Etude d’une fonction (25 minutes) (9 points) Partie A
Soit g une fonction d´efinie sur [−10; 10] parg(x) =−x3+ 27x+ 56.
(1) a. Donner g0(x) la d´eriv´ee de g.
b. Dresser le tableau de variations complet deg.
(2) D´emontrer que l’´equation g(x) = 0 a une unique solution α dansR. (3) a. Montrer que 6< α <7.
b. D´eterminer un encadrement deα `a 10−2 pr`es.
(4) En d´eduire le tableau de signes de g(x). Celui-ci pourra comporter le nombre α.
Solution:
(1) a. g0(x) =−3x2+ 27.
g0(x) = 0⇔ −x2+ 9 = 0⇔x= 3 ou x=−3.
b. g(−10) = 786g(−3) =−2,g(3) = 110 et g(10) =−674 On obtient alors :
TES 5 DS 2 Page 3 de 3 x
g0 g
−10 −3 3 10
+ 0 − 0 −
786 786
2 2
100 100
−674
−674
(2) Sur ]−10; 3[, le minimum de g est 2, l’´equationg(x) = 0 n’admet donc pas de solution.
Sur ]3; 10[,gest continue, strictement d´ecroissante,g(3) = 100 etg(10) =−674 et 0∈]g(10);g(3)[.
Par le corollaire du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, l’´equation g(x) = 0 admet une unique solution sur ]3; 10[.
g(x) = 0 admet donc une unique solution sur [−10; 10].
(3) a. g(6) = 2 etg(7) =−98, 0∈[g(7);g(6)] doncα∈[6; 7].
b. `A la calculatrice, 6,02< α <6,03.
(4) On a x g(x)
−10 α 10
+ 0 −
Partie B
Soit f la fonction d´efinie sur Df =]4; +∞[ parf(x) = −x3−28 x2−9 . (1) D´emontrer que pour toutx∈Df :f0(x) = xg(x)
(x2−9)2.
(2) Dresser le tableau de variations complet def sur Df. Celui-ci pourra comporter le nombre α Solution:
(1) Pour x∈Df, posonsu(x) =−x3−28 et v(x) =x2−9.
f0(x) = −3x2(x2−9)−2x(−x3−28)
(x2−9)2 = −3x4+ 27x2+ 2x4+ 56x
(x2−9)2 = x(−x3+ 27x+ 56) (x2−9)2 = xg(x)
x2−9
(2) Commex >0, on a : x
g(x) (x2−9)2
f0 f
4 α 10
+ 0 −
+ +
+ 0 −
−927
−927 ff(α)(α)
−102881
−102881
