Pr´eciser si l’ ´el´ement trouv´e est dans le sous-groupe altern´e A8

17 d´ecembre 2012 L3

Math´ematiques

STRUCTURES ALG´EBRIQUES

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Exercice 1 (Petites questions, 7pts).

a) Ecrire un ´´ el´ement d’ordre 15 dans le groupe sym´etrique S₈. Pr´eciser si l’ ´el´ement trouv´e est dans le sous-groupe altern´e A₈. Quel est le plus grand ordre possible pour un ´el´ement deS₈? b) Donner la d´efinition d’anneau principal. Donner trois exemples d’ anneaux principaux dont un de caract´eristique 3. Pr´eciser si les anneaux trouv´es sont euclidiens. Donner un exemple d’anneau int`egre commutatif non principal.

c)Soientm etndeux entiers positifs premiers entre eux etaetbdeux entiers. Existe-t-il toujours un x∈Ztel que

x ≡ a mod m x ≡ b mod n ?

d) Soit pun nombre premier. Calculer le corps des fractions du sous-anneau A=

m

p^r ∈Q|m∈Z, r∈N

de Q.

e) Factoriser la classe de 2 dans Z[x]/(x²+ 1) comme produit d’irr´eductibles deZ[x]/(x²+ 1).

Exercice 2 (Anneaux : quotients, 5pts). Soit A=Z/5Z[x] et soient I l’id´eal de A engendr´e par f =x²+ 2 et J l’id´eal de A engendr´e par g = x²+ 1. La classe d’un ´el´ement m dans Z/5Z est not´eem.

a) Quel est le cardinal deA/I et de A/J?

b) Trouver deux ´el´ements non nuls de A/J tels que leur produit est nul.

c) Ecrire les id´eaux deA/J.

d) D´emontrer que les anneauxA/J etZ/5Z×Z/5Z sont isomorphes. Expliciter l’isomorphisme.

e) Existent ils deux ´el´ements non nuls dans A/I de produit nul?

f ) Donner l’´el´ement a+I de A/I tel que

(a+I)·(x+ 1 +I) =x+I.

Exercice 3 (Anneaux : divisibilit´e, 4pts). Soit A=

f =X

i

a_ixⁱ ∈Z[x]

3|a₁ et 3²|a₂

. a) D´emontrer queA est un sous-anneau deZ[x].

b) Donner toutes les factorisations comme produit d’irr´eductibles deA (`a permutation et au signe pr`es) de l’´el´ement 27x³.

c) A est-il un anneau factoriel?

d) Calculer le ppcm dansA de 9x² et 3x puis, s’il existe, le ppcm de 9x² et 3. TSVP

Exercice 4 (Groupes, 6pts). On notera par U(Z/nZ) le groupe multiplicatif des ´el´ements in- versibles de l’anneauZ/nZ:

U(Z/nZ) ={¯a∈Z/nZ| ∃¯b∈Z/nZ et ¯a·¯b= ¯1}.

a) En utilisant le th´eor`eme de Lagrange, d´emontrer que si nest un entier positif non nul fix´e alors a∈Z, a∧n= 1

=⇒ a^ϕ(n)≡1 mod n.

Iciϕ(n) =|{m∈N\ {0} |m < n etm∧n= 1}|.

b) Calculer ϕ(25), puis l’ordre de ¯2 dans U(Z/25Z).

c) En d´eduire queU(Z/25Z) est cyclique.

d) Combien y a-t-il d’´el´ements d’ordre 20 dans U(Z/25Z)?

e) Donner la liste des sous-groupes de U(Z/25Z). Pour chaque sous-groupe pr´eciser le cardinal et un g´en´erateur.