T 5/11 DS 1 26 septembre 2018 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Pour s’´echauffer (12 minutes) (4 points)
1. Soit (un) la suite d´efinie par un+1=un+ 5 etu0 = 2.
(a) Quelle est la nature de la suite ? Pr´eciser sa raison ; (b) Exprimer un en fonction de n.
2. Soitf d´efinie sur ]1; +∞[ parf(x) = 2x+ 1 x−1 . D´eterminer f0(x) pourx∈]1; +∞[.
Solution:
1. (un) est une suite arithm´etique de raison 5. On a pour tout entiern,un= 2 + 5n 2. On poseu(x) = 2x+ 1 etv(x) =x−1, on a u0(x) = 2 et v0(x) = 1.
Doncf0(x) = 2(x−1)−2x+ 1
(x−1)2 =− 3 (x−1)2.
Exercice 2 : Lecture graphique (15 minutes) (6 points)
Soitf une fonction d´efinie sur [−6 ; 4]. dont la courbe repr´esentative Cf est donn´ee ci contre.
La droiteT est la tangente
1. D´eterminer graphiquement f(−1) et f(0) ;
2. D´eterminer graphiquement f0(−1) et f0(2) ;
3. Quel est le signe def0(3) ;
4. Dresser le tableau de variations de f puis celui def0.
!Baccalauréat STMG Centres étrangers 8 juin 2016"
EXERCICE1 4 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses est exacte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et reco- pier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte1point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’ap- porte ni ne retire aucun point.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A
Dans cette partie, on considère la fonctionf définie sur [−6 ; 4] dont la courbe représentativeCf est donnée ci-dessous.
1 2 3
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−1
−2
−3
−4
−5 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−1
−2
−3
−4
−5 1 2 3 4 5 6 7
Cf A
B
La droite T est la tangente à la courbeCfau point A(−1 ; 3). Elle passe par le point B(−2 ; 5).
1. Le nombre dérivé defen−1 est égal à a. 1
2 b. −2 c. 1
2. L’ensemble des solutions de l’inéquationf′(x)!0 est
a. [−6 ;−3]∪[2 ; 4] b. [−3 ; 2] c. [−6 ;−5,2]∪[0,5 ; 3,2]
Partie B
Dans cette partie, on considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [−2 ; 5] par
g(x)= −2x3+3x2+12x et on noteg′sa fonction dérivée.
Solution:
1. f(−1) = 3 etf(0) = 1 2. f0(−1) =−2 et f0(2) = 0
3. f0(3) est positif carf est croissante autour de 3.
4.
x f f0(x)
−6 −3 2 4
+ 0 − 0 +
Exercice 3 : ´Etude d’une suite (15 minutes) (6 points)
Le prix moyen d’une tonne de cacao en provenance de la Cˆote d’ivoire ´etait de 3081 dollar US le 1erjanvier 2015. On suppose que ce prix moyen augmente de 4 % par an `a partir du 1er janvier 2015. On noteun le prix moyen d’une tonne de cacao, exprim´e en dollar, au 1erjanvier de l’ann´ee 2015 +n.
1. Justifier que la suite (un) est g´eom´etrique et donner sa raison.
TES 5 DS 1 Page 2 de 3 2. Exprimer le terme g´en´eral un en fonction den.
3. En d´eduire une estimation, arrondie au centi`eme, du prix moyen d’une tonne de cacao en provenance de la Cˆote d’Ivoire au 1er janvier 2020.
4. On consid`ere l’algorithme suivant : u←−3 081,45 n←−0
Tant queu < k u←−1,04×u n←−n+ 1 Fin Tant que Affichern
Si l’on choisitk= 4 000, quelle valeur affichera cet algorithme ? Interpr´eter ce r´esultat dans le contexte
´etudi´e.
Solution:
1. Pour passer d’une ann´ee `a la suivante le prix augmente de 4 %, il est donc multipli´e par 1,04 on a alorsun+1 = 1,04un donc
(un) est g´eom´etrique de raisonq= 1,04 et de 1erterme u0 = 3 081,45 2. pour tout entier natureln , un=u0×qn= 3 081,45×1,04n
3. 2020 correspond au rangn= 5 etu5 = 3 081,45×1,045 ≈3 749,06 Donc en 2020, on peut pr´evoir un prix de 3 749,06 ela tonne de cacao 4. L’algorithme affiche la plus petite valeur dentelle que un>4 000
u6 ≈3 899 etu7 ≈4 055 donc l’algorithme va afficher 7
Il s’agit du rang de l’ann´ee 2022 `a partir de laquelle le prix de la tonne d´epassera 4 000 e.
Exercice 4 : Probl`eme sur les fonctions (13 minutes) (4 points) Une entreprise produit des panneaux solaires. Une ´etude de march´e permet d’estimer que la production pour le mois `a venir est comprise entre 1 500 et 3 000 panneaux solaires. On s’int´eresse au b´en´efice de l’entreprise sur la vente des panneaux solaires produits.
On d´ecide de mod´eliser l’´evolution du b´en´efice de l’entreprise, exprim´e en centaine d’euros, par la fonction f d´efinie par f(x) =−2x2+ 90x−400, pour x∈[15 ; 30].
On admet que la fonctionf est d´erivable sur l’intervalle [15 ; 30] et on notef0 sa fonction d´eriv´ee.
1. ´Etudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [15 ; 30].
2. Calculer son maximum.
Les valeurs de x, arrondies au centi`eme, repr´esentent le nombre de centaines de panneaux solaires produits.
3. Pour quelle production le b´en´efice est-il maximal ? Quelle est alors sa valeur ?
Solution:
1. ´Etudions les variations de la fonction f sur l’intervalle [15 ; 30].
(a) D´eterminons la fonction d´eriv´eef0. f0(x) =−2(2x) + 90 =−4x+ 90.
(b) ´Etudions le signe de f0(x).
SurR,−4x+ 90>0 ⇐⇒ x <22,5.
Il en r´esulte si x∈[15 ; 22,5[, f0(x)>0 et si x∈]22,5 ; 30], f0(x)<0
TES 5 DS 1 Page 3 de 3 (c) ´Etudions les variations def
Si pour toutx∈I, f0(x)>0 alors la fonctionf est strictement croissante sur I.
Sur [15 ; 22,5[, f0(x)>0 par cons´equent f est strictement croissante sur cet intervalle.
Si pour toutx∈I, f0(x)<0 alors f est strictement d´ecroissante sur I.
Sur ]22,5 ; 30], f0(x)<0 par cons´equent f est strictement d´ecroissante sur cet intervalle.
Dressons le tableau de variations : x
f0(x) f
15 22,5 30
+ 0 −
500 500
612,5 612,5
500 500 2. Le maximum de la fonction est f(22,5)soit 612,5.
Les valeurs dex, arrondies au centi`eme, repr´esentent le nombre de centaines de panneaux solaires produits.
3. Le b´en´efice est maximal pour une production de 2 250 panneaux solaires. Le b´en´efice est alors de 61 250e.
