Le b´en´efice qu’elle envisage, en million d’euros, est donn´e par : f(x

TES 5 Interrogation 9A : Correction 11 janvier 2018 Exercice 1 :

D´eriver les fonction suivantes surR:

1. f(x) = e^2x+1 2. g(x) = e^x2

Solution:

1. f⁰(x) = 2e^2x+1 2. g⁰(x) = 2xe^x2

Exercice 2 :

Une entreprise peut extraire en 2000 et 15000 tonnes de minerai d’une carri`ere. Le b´en´efice qu’elle envisage, en million d’euros, est donn´e par : f(x) = (4x−13)e<sup>−0,2x</sup>o`uxest la quantit´e de minerai extraite,x∈[2; 15].

1. R´esoudre l’in´equationf(x)60 sur [2; 15]. Interpr´eter ´economiquement le r´esultat.

2. a. Montrer quef⁰(x) = (6,6−0,8x)e^−0,2x.

b. ´Etudier le signe def⁰(x) sur [2; 15], puis dresser le tableau de variations def. 3. Pour quelle quantit´e extraite le b´en´efice est-il maximum ?

Solution:

1. f(x)60 ssi 4x−1360 car e^−0,2x>0 pour tout r´eelx. L’ensemble des solutions est donc [2;¹³₄[. Le b´en´efice est positif `a partir de 3250 tonnes de minerai produit.

2. a. f⁰(x) =−0,2×(4x−13)e^−0,2x+ 4e^−0,2x= (−0,8x+ 2,6 + 4)e^−0,2x= (6,6−0,8x)e^−0,2x

b. f⁰(x) est du signe de 6,6−0,8xcar e^−0,2x >0 pour tout r´eel x.f⁰(x) est donc negatif pourx >8,25 et positif pourx <8,25. On en d´eduit le tableau suivant :

x f⁰(x)

f

2 8,25 15

+ 0 −

−5e^−0,4

−5e^−0,4

20e^−1,65 20e^−1,65

47e⁻³ 47e⁻³

3. Selon le tableau de variations, le b´en´efice maximal est atteint pour 8250 tonnes produites.