L3 – Alg`ebre 2 2013–2014 : TD 4
Cyclotomie, El´ ement primitif
Dans toute la feuille,p est un nombre premier etq =pn.
Exercice 1. (Automorphismes d’un corps cyclotomique)
Soitn∈N∗ un entier. On se propose d’´etudier le groupe Aut(Q(ζn)/Q).
1. Soit a∈(Z/nZ)∗. Montrer qu’il existe un unique automorphisme Q-lin´eaire de Q(ζn) qui envoie ζn surζna. On note σa cet automorphisme.
2. Montrer que l’application a 7→ σa ´etablit un isomorphisme de groupes (Z/nZ)∗ → Aut(Q(ζn)/Q).
Exercice 2. (Th´eor`eme de Wedderburn)
On rappelle qu’un corps est un anneau unitaire non n´ecessairemenet commutatif, dans lequel tout ´el´ement non-nul admet un inverse bilat`ere. Le but de cet exercice est de montrer le Th´eor`eme de Wedderburn, qui dit que tout corps de cardinal fini est commutatif.
1. Soit K un corps. Soit Z = {x ∈ K | ∀y ∈ K, xy = yx}. Pour tout x ∈ K, soit Sx = {y∈K|xy=yx}. Montrer que Z est un corps commutatif et les Sx sont des corps. En d´eduire que les Sx et K sont des Z-espaces vectoriels.
2. Montrer la formule
#K∗ = #Z∗+X
x∈Θ
#K∗
#S∗x
o`u Θ est un ensemble de repr´esentant des classes de conjugaisons non constantes dans le groupe K∗ (i.e. orbites par la conjugaison dans K∗ qui ne sont pas r´eduites `a un
´
el´ement).
3. Montrer que si d0 est un diviseur strict de dalors Φd(X) divise Xd−1
Xd0−1. Conclure.
Exercice 3. Factorisation des polynˆomes cyclotomiques sur un corps fini
SoitKun corps. On noteµm,K l’ensemble des racines primitivesm-i`emes de l’unit´e dans une clˆoture alg´ebrique deK. On rappelle que, par d´efinition, le m-i`eme polynˆome cyclotomique surKest ´egal `a Π
ζ∈µm,K
(X−ζ)
1. Montrer que si p divisem etKest de caract´eristiquep alors Φm,K = 1.
On rappelle pour la suite que si p ne divise pas m alors Φm,K ne d´epend que de la caract´eristique de K. On a en outre que Φm,Fq est `a coefficients dans Fp et s’obtient par r´eduction modulop de Φm,Q qui est `a coefficients dansZ.
2. Montrer que dans ce cas Φm est `a facteurs simples surFq.
3. Montrer que chaque facteur irr´eductible de Φm sur Fq est de degr´e exactementr, o`ur est l’ordre de q dans (Z/mZ)?.
On remarque en particulier que Φm est irr´eductible sur Fq si et seulement si q est un g´en´erateur de (Z/mZ)?.
4. Calculer r, Φm et I(q, r)pour les valeurs de (q, m) suivantes : (2,7), (3,11), Exercice 4. Polynˆomes primitifs sur Fp
On appelle polynˆome primitif sur Fp tout polynˆome irr´eductible P de degr´en dont la classe de X dansFp[X]/ <P(X)> engendre le groupe des inversibles de ce corps.
1. Montrer qu’il existe des polynˆomes primitifs de tout degr´e sur Fp.
2. Montrer que les polynˆomes primitifs de degr´e ndivisent Φq−1 (o`u q=pn).
3. R´eciproquement, montrer que tout facteur irr´eductible de Φq−1est un polynˆome primitif de degr´e n.
4. Application : On suppose donn´e un facteur irr´eductible P de degr´e n du polynˆome cyclotomique Φq−1. On note α la classe de X dans le quotientFp[X]/ <P(X)>.
(a) D´eduire des questions pr´ec´edentes queFp[X]/ <P(X)>={αk,0≤k≤n−1}.
(b) Expliquer pourquoi il suffit de calculer la fonction stelle que 1 +αi =αs(i) pour connaˆıtre toute la table d’addition de Fq.
(c) Montrer que s(pi) =ps(i),s(s(i)) =iets(−i) =s(i)−i.
(d) Donner les tables d’addition et de mutliplication de F32 (on pourra commencer par remarquer que tout polynˆome irr´eductible de degr´e 5 sur F2 est primitif).
