Sup PCSI2 — Devoir 2006/06
INotonsX l’ensemble des suites (tn)n∈Nqui v´erifient les propri´et´es suivantes : (1) lestn sont des naturels non nuls
(2)t0= 1
(3)tn+1>tn2 pour toutn∈N
(4) (tn)n∈Nn’est pas la suite constante ´egale `a 1
IA toute suite (t` n)n∈N´el´ement deX, nous associons la suite de rationnels (an)n∈Nd´efinie para0= 1 et, pour toutn∈N∗,an = Y
16k6n
1 + 1 tk
.
IDans les trois questions suivantes,αd´esigne un naturel au moins ´egal `a 2. Nous consid´erons la suite (tn)n∈N
d´efinie part0= 1 ettn =α2n−1 pour toutn∈N∗. Q1 Montrez que (tn)n∈N est un ´el´ement deX.
Q2 Montrez que la suite (an)n∈N qui est associ´ee `a (tn)n∈N v´erifie la relationan = α α−1
1− 1 α2n
pour tout n∈N.
Q3 Montrez que (an)n∈Nconverge, pr´ecisez sa limite.
IDans les quatre questions suivantes, (tn)n∈Nd´esigne un ´el´ement quelconque deX. Q4 Montrez que la suite (an)n∈N qui lui est associ´ee est strictement croissante.
Q5 Montrez qu’il existe un rangn0∈Ntel quetn>2 pour toutn>n0. Q6 Soit k>n0; pourp∈N∗, ´etablissez :
ak
1 + 1 tk+1
6ak+p6ak
Y
16j6p
1 + 1 (tk+1)2j−1
Attention: l’exposant detk+1 est 2j−1.
Q7 En d´eduire que la suite (an)n∈Nconverge vers un r´eela >1.
Q8 Montrez que la fonctionf : x∈]1,+∞[7→ x
x−1 r´ealise une bijection de ]1,+∞[ sur lui-mˆeme.
Q9 En d´eduire que, pour toutx∈]1,2], il existe un et un seul natureln>2 tel que n+ 1
n < x6 n n−1. Q10 Calculeznpourx= 1,0001.
IDans les quatre questions suivantes,xd´esigne un ´el´ement de ]1,2].
Q11 Construisez, par r´ecurrence, une suite (tk)k∈Nde naturels non nuls telle que
∀k∈N: 1 + 1 tk+1
< x ak
6 tk+1
tk+1−1 o`u (ak)k∈N est la suite associ´ee `a (tk)k∈N.
Q12 Montrez que la suite (tk)k∈Nest un ´el´ement deX. Q13 Montrez que lim
k→∞ak=x.
[Devoir 2006/06] Compos´e le 14 mai 2007
