Sup PCSI2 — Devoir 1996/03 Q1 Soit x > 0. Montrez que les relationsu1 =x et un+1 = un
1 +nun2 d´efinissenteffectivement une suite de r´eels strictement positifs.
Q2 En observant le sens de variation de la suite (un)n>1, montrez qu’elle converge vers un r´eelℓ>0.
Q3 Montrez que l’hypoth`eseℓ >0 est contradictoire.
Q4 Explicitez un lorsquex= 1.
◮Nous supposons d´esormaisx6= 1.
Q5 Justifiez :un<1 pourn>2.
Q6 Notonsvn =nun−1 pourn>1. ´Etablissez la relation : vn+1= 1−un
1 +nun2vn Q7 Quel est le signe devn?
Q8 Montrez que la suite (vn)n>2est strictement croissante ; en d´eduire qu’elle converge vers un r´eelλ∈]−1,0].
Q9 Justifiez :vn+1n→∞g vn. Pour quelle(s) valeur(s) deλce r´esultat pr´esente-t-il de l’int´erˆet ?
◮Des essais num´eriques avec diverses valeurs dexsemblent indiquer quenun tend vers 1 lorsquentend vers l’infini. Nous nous proposons d’´etablir ceci en toute rigueur.
Q10 Simplifiezpn= Y
26k6n
³ 1−1
k
´
. En d´eduire la valeur de limn→∞pn. Q11 Fixons α∈ ]0,1[ et notonsPn(α) = Y
26k6n
³ 1− α
k
´
. En utilisant la relation ln(1 +x)6 x, valable pour x >−1, d´eterminez lim
n→∞Pn(α).
Q12 Nous supposons qu’il existeα∈ ]0,1[ etn0 >2 tels que n>n0 implique vn+1
vn
61−α
n. Montrez que la suite (vn)n>1converge vers 0.
Q13 Justifiez :vn+1
vn 61−α
n si et seulement sin2un2−αnun2−α+nun >0.
Q14 Exprimezµ= lim
n→∞
¡n2un2−αnun2−α+nun¢
en fonction deλet α.
Q15 Explicitez une valeur deα∈]0,1[ telle queµ >0.
Q16 Concluez !
[Devoir 1996/03] Compos´e le 8 mars 2008
