Sup PCSI2 — Devoir 2002/05 ◮ Pour n ∈ N∗, notons

Sup PCSI2 — Devoir 2002/05

◮Pourn∈N^∗, notons fn la fonction d´efinie parfn(x) = X

16k6n

x^n+k n+k. Etude de la suite de terme g´´ en´eral un=fn(1)

Q1 Montrez que cette suite est croissante et major´ee. Conclusion ? Q2 Pourn∈N^∗, ´etablissez 1

n+ 1 6ln(n+ 1)−ln(n)6 1 n. Q3 En d´eduire la limite de la suite (un)n>1.

Etude des variations de´ fn

Q4 Pourx6= 1, puis pourx= 1, donnez une expression def_n^′(x) d´ebarrass´ee de tout signeP . Q5 Dans cette question uniquement, nous supposons n= 2p. Montrez quef_n^′(x) =xⁿ(1 +x) X

06k<p

x^2k. Q6 En d´eduire les variations de fn et le nombre de solutions de l’´equation fn(x) = 0 ; vous distinguerez deux

cas selon la parit´e den.

Etude de la suite de terme g´´ en´eral fn(x), avec x>0 fix´e Q7 Pour 06x61, ´etablissezxⁿ6f_n^′(x)6nxⁿ.

Q8 Pourx >1, ´etablisseznxⁿ6f_n^′(x).

Q9 Justifiez l’´egalit´efn(x) = Z x

0

f_n^′(t)dt.

Q10 D´eterminez, en fonction de la valeur dex>0, la limite de la suite de terme g´en´eralfn(x).

Etude de´ Sn(x) = X

16p6n

fp(x) pour 06x <1

◮Dans cette partie, nous fixonsx∈[0,1[.

Q11 ´Etablissez l’´egalit´eS_n^′(x) = x(1−xⁿ)(1−xⁿ⁺¹) (1−x)²(1 +x) . Q12 D´eterminez la limite de la suite de terme g´en´eral

Z x 0

tⁿ

(1−t)²(1 +t)dt.

Q13 En d´eduire la limite de la suite de terme g´en´eralSn(x).

Q14 Calculez Z x

0

t

(1−t)²(1 +t)dtet concluez.

[Devoir 2002/05] Compos´e le 11 juin 2008