Sup PCSI2 — Devoir 1996/08 ◮ Pour tout n ∈ N, notons I

Sup PCSI2 — Devoir 1996/08

◮Pour toutn∈N, notonsI_n= Z π/2

0

cosⁿ(t)dt. Q1 Quel est le sens de variation de la suite (I_n)n∈N?

Q2 Prouvez que la suite (I_n)n∈N converge, et donnez un encadrement de sa limiteℓ.

◮Nous nous proposons de montrer queℓ= 0. Nous raisonnons par l’absurde, supposantℓ >0.

Q3 ´Etablissez :

n→∞lim Z π/2

ℓ/3

cosⁿ(t)dt= 0

Q4 Prouvez alors l’existence d’un rangn₀ tel queI_n6 2ℓ

3 pour toutn>n₀ et concluez.

Q5 Calculez I₀ etI₁.

Q6 Au moyen d’une int´egration par parties, ´ecrivez une relation entreI_n+2 etI_n.

Q7 Donnez l’expression de I_n en fonction den; vous distinguerez deux cas selon la parit´e de n, et vous ferez intervenir le coefficient binomial

µ2n n

¶ .

Q8 Prouvez que la suite de terme g´en´eralu_n = (n+ 1)I_nI_n+1est constante ; obtenez alors un ´equivalent simple deI_n lorsquen→ ∞, et retrouvez ainsi la limite de la suite (I_n)n∈N.

Q9 Prouvez que¡2n n

¢est ´equivalent `a 2²ⁿ

√nπ lorsquen→ ∞.

[Devoir 1996/08] Compos´e le 11 mai 2008