Sup PCSI2 — Devoir 2003/01 ◮ Soient f : R 7→ R et n ∈ N. Nous noterons f (

Sup PCSI2 — Devoir 2003/01

◮Soientf : R7→Retn∈N. Nous noteronsf⁽ⁿ⁾lan-i`eme it´er´ee def: de fa¸con intuitive,f<sup>(n)</sup>=f◦f◦ · · · ◦f, avec n exemplaires de f (et n−1 symboles ◦) `a droite du signe =. De fa¸con formelle, f⁽⁰⁾ = Id_R et f⁽ⁿ⁺¹⁾=f ◦f⁽ⁿ⁾. En particulier,f⁽¹⁾=f et f⁽²⁾=f◦f.

Q1 Prouvez quef⁽ⁿ⁺¹⁾=f⁽ⁿ⁾◦f; vous raisonnerez par r´ecurrence sur n.

Q2 Prouvez quef^(p+q)=f^(p)◦f^(q); vous raisonnerez par r´ecurrence surq, en consid´erant que pest fix´e.

Q3 Connaissez-vous des fonctionsf : R7→Rautres que Id_R, qui v´erifientf⁽²⁾= Id_R?

◮Dans la suite de cet exercice, nous supposons quef v´erifie la conditionC suivante : f⁽²⁾(x) = 2f(x)−xpour tout r´eelx

Q4 Exprimezf⁽³⁾(x) et f⁽⁴⁾(x) en fonction dexet def(x).

Q5 ´Etablissez une formule g´en´erale exprimantf⁽ⁿ⁾(x) en fonction den,xetf(x).

Q6 Prouvez quef est injective.

Q7 f peut-elle ˆetre strictement d´ecroissante ?

Q8 Exhibez une fonctionf : R7→Rsatisfaisant la conditionC.

[Devoir 2003/01] Compos´e le 11 juin 2008