Sup PCSI2 — Devoir 2000/01
◮Soientn>1 etpune permutation de l’intervalle discret [[1,n]]. Nous noteronspi pourp(i) ; la permutation sera repr´esent´ee par le n-uplet (p1, p2, . . . , pn). Sin69, nous abr´egerons cette notation enp1p2. . . pn. Par exemple, la permutationpde [[1,4]] d´efinie parp(1) = 3,p(2) = 2,p(3) = 4 etp(4) = 1 sera not´ee 3241.
Motif 12 dans une permutation
◮Dans cette partie, n>2. Soit p= (p1, . . . , pn) unn-uplet de r´eels. Nous dirons que le motif 12 apparaˆıt dansps’il existe deux indicesietj tels quei < jetpi< pj. Ce motif peut apparaˆıtre z´ero, une ou plusieurs fois ; s’il n’apparaˆıt aucune fois, nous dirons que len-uplet´evite ce motif. Par exemple, le motif 12 apparaˆıt deux fois dans la permutation 3241 : une fois avec (i, j) = (1,3) ; une fois avec (i, j) = (2,3).
◮Soient pune permutation de [[1,n]],f : R7→Rune application strictement croissante etq= (q1, . . . , qn) le n-uplet image de (p1, . . . , pn) par f; on a doncqi =f(pi) pour tout i∈[[1,n]]. Il est clair que le motif 12 apparaˆıt le mˆeme nombre de fois danspet dansq.
Q1 D´eterminez le nombre maximal d’apparitions du motif 12 dans une permutation de l’intervalle discret [[1,n]].
Pour quelle(s) permutation(s) ce maximum est-il atteint ?
Q2 Existe-t-il des permutations de l’intervalle discret [[1,n]] qui ´evitent le motif 12 ? Si oui, lesquelles ?
Q3 Montrez qu’il existe n−1 permutations de l’intervalle discret [[1,n]] dans lesquelles le motif 12 apparaˆıt exactement une fois.
◮Nous nous proposons de d´eterminer le cardinalxnde l’ensembleEndes permutations de [[1,n]] dans lesquelles le motif 12 apparaˆıt exactement deux fois.
Q4 D´eterminez les valeurs dex2,x3 et x4.
Q5 Soientn>3 etp∈En. Montrez que 1∈ {pn−2, pn−1, pn}.
Q6 Combien existe-t-il d’´el´ementspdeEn tels quepn= 1 ?
Q7 Soient n>3 et p∈En tel quepn−1 = 1. Quelles sont les valeurs possibles de pn? En examinant les deux cas de figure qui se pr´esentent, d´eterminez le nombre d’´el´ementspdeEn tels quepn−1= 1.
Q8 Soient n > 3 et p ∈ En tel que pn−2 = 1. Quelles sont les valeurs de pn et pn−1? Combien existe-t-il d’´el´ementspdeEn tels quepn−2= 1 ?
Q9 D´eduisez de cette analyse une relation entrexnetxn−1, pourn>3, et donnez une expression simple dexn.
Permutations ´evitant les motifs 123 et 132
◮Dans cette partie, n>3. Soit p= (p1, . . . , pn) unn-uplet de r´eels. Nous dirons que le motif 123 apparaˆıt dans p s’il existe des indicesi, j et k tels que i < j < k et pi < pj < pk. Nous dirons que le motif 132 apparaˆıt dansps’il existe des indicesi,j et k tels quei < j < k et pi < pk < pj. Nous nous proposons de d´eterminer le cardinalyn de l’ensembleFn des permutations de l’intervalle discret [[1,n]] qui ´evitent `a la fois les motifs 123 et 132.
◮La propri´et´e signal´ee dans la partie pr´ec´edente pour le motif 12 est ´evidemment valable pour les motifs 123 et 132.
Q10 D´eterminez les valeurs dey3et y4.
◮Soient p∈Fn et i∈[[0,n]]. Notonsq la permutation de [[1,n+ 1]] obtenue enhhins´erantiin+ 1 juste avant p1 (si i = 0) ou juste apr`es pi (si i > 0). Ainsi qj = pj pour j ∈ [[1,i]], qi+1 =n+ 1, et qj = pi−1 pour j∈[[i+ 1,n+ 1]].
Q11 Montrez que siq∈Fn+1, alorspj> pk quels que soient les indicesj etk v´erifiantj6ietk > i.
Q12 Montrez que siq∈Fn+1, alorsp1> p2> . . . > pi. Q13 ´Etablissez alors la formuleyn+1= X
06i6n
yi et donnez une expression simple deyn.
[Devoir 2000/01] Compos´e le 10 juin 2008