Sup PCSI2 — Devoir 2003/08
◮Rappels : pour 06p6n, nous notons µn
p
¶
= n!
p!(n−p)!. Pourietj relatifs, nous notonsδi,jle r´eel ´egal `a 1 sii=j, `a 0 dans le cas contraire.
Q1 Pour 0 6p6q 6n, donnez une autre ´ecriture du produit µn
q
¶µq p
¶
, faisant intervenir deux coefficients binomiaux.
◮Fd´esigne leR-e.v. des suites de r´eels. Soit (vn)n∈Nun ´el´ement deF; d´efinissons la suiteB(v) par :
¡B(v)¢
n= X
06p6n
(−1)p µn
p
¶
vp pour toutn∈N Vous noterez bien queBassocie, `a une suite de r´eels, une autre suite de r´eels.
Q2 Siv est une suite de r´eels, la notationB(vn) a-t-elle un sens ? Q3 Montrez que la fonctionBest un endomorphisme deF.
◮Dans les cinq questions suivantes, l’expression hhexpliciter B(v)ii signifie hhdonner l’expression, en fonction den, du terme g´en´eral¡B(v)¢
n de la suiteB(v)ii. Il va de soi que cette expression devra ˆetrela plus simple possible.
Q4 Explicitez B(v) lorsquev est la suite d´efinie parvn= 1 pour toutn∈N. Q5 Explicitez B(v) lorsquev est la suite d´efinie parvn=npour toutn∈N. Q6 Explicitez B(v) lorsquev est la suite d´efinie parvn= 1
n+ 1 pour toutn∈N.
Q7 Fixonsα∈R. ExplicitezB(v) lorsquev est la suite d´efinie parvn=αn pour toutn∈N. Q8 Fixons q∈N. ExplicitezB(v) lorsque vest la suite d´efinie par vn =
µn q
¶
pour toutn>q, etvn = 0 pour toutn < q.
Q9 Justifiez la relationB ◦ B= IdF.
Q10 Exhibez un ´el´ementv deF, autre que la suite nulle, v´erifiantB(v) =−v.
[Devoir 2003/08] Compos´e le 11 juin 2008
