Sup PCSI2 — Devoir 2003/02

Sup PCSI2 — Devoir 2003/02

◮On note ϕ: x∈]0, e[7→ lnx

x . En particulier, on a ϕ(xp) = −1

p. On note Hn = X

16k6n

1

k, et H0 = 0 par convention.

Q1 Montrez que ϕest une bijection de classeC^∞. Q2 Explicitez ϕ^′(x) etϕ^′′(x).

Q3 Formulez une hypoth`ese plausible concernantϕ⁽ⁿ⁾(x) ; Explicitezϕ⁽ⁿ⁾(x) au moyen deHn; vous terminerez avec un raisonnement par r´ecurrence.

Q4 Retrouvez l’expression pr´ec´edente deϕ⁽ⁿ⁾(x) avec la formule deLeibniz, en ´ecrivantϕ(x) = 1 xlnx.

[Devoir 2003/02] Compos´e le 11 juin 2008