Sup PCSI2 — Devoir 1995/02
◮Nous nous int´eressons aux solutions surRde l’´equation diff´erentielley′= exp¡
−y2¢
, ´equation que l’on notera E.
◮f d´esignera d´esormais une solution deE, c’est-`a-dire un ´el´ement de D(R,R) v´erifiantf′(x) = exp¡
−f2(x)¢ pour toutx∈R. Notons que ceci s’´ecrit plus simplementf′ = exp◦¡
−f2¢ .
◮On noteraCf la courbe repr´esentative def.
◮On admettra que, pour tout couple (x0, y0)∈R2, il existe une et une seule solutionf de l’´equationEv´erifiant f(x0) =y0.
◮On rappelle l’in´egalit´e des accroissements finis : sif etgsont continues sur [a, b], d´erivables en tout point de ]a, b[, et si|f′|6g′, alors¯
¯f(b)−f(a)¯
¯6g(b)−g(a).
◮Vous distinguerez soigneusementfn, qui d´esigne le produit denfonctions ´egales `af, et f(n), qui d´esigne la n-i`eme d´eriv´ee def.
Partie I : variations de f Q1 Montrez que f ∈ C∞(R,R).
Q2 Exprimezf′′ etf′′′ en fonction def et def′. Q3 Quel est le sens de variation def?
Q4 En faisant appel `a l’in´egalit´e des accroissements finis, montrez quef est lipschitzienne.
Q5 Montrez par l’absurde quef n’est pas born´ee.
Q6 Montrez que l’hypoth`esehhf ne prend que des valeurs strictement positivesiim`ene `a une contradiction.
Q7 Montrez de mˆeme quef ne peut pas prendre que des valeurs strictement n´egatives.
Q8 En d´eduire qu’il existeun et un seul r´eel atel que f(a) = 0.
Q9 En observantf′(a), montrez que 1 est la meilleure constante deLipschitzpourf, autrement dit : il n’existe pas de r´eelk <1 tel que¯
¯f(x)−f(y)¯
¯6k|x−y|pour tous r´eelsxet y.
Q10 ´Etudiez rapidement les variations def′.
Q11 Montrez quef(x)−−−−→x→+∞ +∞. Quelle est la limite def′(x) lorsquextend vers +∞? Q12 Montrez quef est une bijection deRsur lui-mˆeme.
Partie II : ´etude de la courbe repr´esentative de f
Q13 Observez l’application h: x7→ −f(2a−x), o`u aest la solution de l’´equation f(x) = 0, pour montrer que Cf poss`ede un centre de sym´etrie.
Q14 Soitgune autre solution deE; montrez queCg se d´eduit deCf par une translation.
Partie III : comportement asymptotique de f
Q15 Montrez quef(x) =o(x) lorsquextend vers +∞; vous pourrez utilisez l’in´egalit´e des accroissements finis.
Q16 Montrez qu’il existe un r´eelA (que l’on ne cherchera pas `a d´eterminer) tel quef(x)6lnxpour x>A.
Q17 Montrez quef(x) =O¡√
lnx¢
lorsquextend vers +∞.
Q18 Montrez que l’hypoth`esehhil existe des r´eelsk <1 etB >1 tels quef(x)6k√
lnxpour toutx>Biim`ene
`a une contradiction.
Partie IV : d´eriv´ees successives def
Q19 Montrez que, pourn>1,f(n)= (Pn◦f)×(f′)n, o`u Pn est une fonction polynˆome de degr´en−1.
Q20 Quelle est la parit´e dePn? Explicitez le coefficient dominantan dePn. Q21 Pourn>1, d´eterminez la limite def(n)(x) lorsque|x|tend vers +∞.
Q22 Montrez que, pourn>2, l’´equationPn(x) = 0 poss`eden−1 solutions, r´eelles, distinctes, qui s´eparent celles de l’´equationPn+1(x) = 0.
Partie V : trac´e de Cf
◮Dans cette partie,f d´esigne la solution deE qui v´erifief(0) = 0.
Q23 Justifiez le fait quef poss`ede unDL5(0), puis explicitez ceDL5(0).
Q24 Exploitez les r´esultats ´etablis pr´ec´edemment pour donner l’allure deCf. Si vous disposez d’un outil de calcul ad´equat, mettez-le en œuvre pour obtenir un trac´e pr´ecis.
[Devoir 1995/02] Compos´e le 7 mars 2008
