Sup PCSI2 — Devoir 2003/04
◮Une permutation f de l’intervalle discret [[1,n]] sera d´ecrite par la suite f(1)f(2). . . f(n). Par exemple, la permutationf de [[1,6]] d´efinie parf(1) = 3,f(2) = 5,f(3) = 2,f(4) = 1,f(5) = 6 etf(6) = 4 sera d´ecrite par 352164.
◮Soientn>3 etf une permutation de [[1,n]]. Nous dirons quef estconcave s’il existe k∈[[2,n−1]] tel que f(i)< f(i+ 1) pour 1 6i < k et f(i)> f(i+ 1) pour k 6i < n. Nous dirons que k est la cime de f; clairement,f(k) =n.
Q1 ´Enum´erez les permutations concaves de [[1,4]].
Q2 Soit k∈[[2,n−1]]. Montrez qu’il existe
µn−1 k−1
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permutations concaves de [[1,n]] ayantkcomme cime.
Q3 En d´eduire le nombreCn de permutations concaves de [[1,n]].
Q4 Remplaceznpar 4 dans votre formule et v´erifiez que vous retrouvez le r´esultat de la question 1.
◮Soientn>3 etf une permutation de [[1,n]]. Nous dirons quek∈[[2,n−1]] est unpicdef sif(k−1)< f(k) etf(k)> f(k+ 1) ; nous dirons que c’est uncreux def sif(k−1)> f(k) etf(k)< f(k+ 1). Clairement, une permutation concave ne poss`ede aucun creux, et poss`ede un seul pic, ´egal `a sa cime.
Q5 Quelles sont les permutations de [[1,n]] qui ne poss`edent aucun pic ?
Q6 Combien une permutation de [[1,n]] poss`ede-t-elle de pics au plus ? Une formuleuniqueserait appr´eci´ee.
Q7 Montrez qu’une permutation `a un seul pic poss`ede au plus deux creux, situ´es de part et d’autre du pic.
[Devoir 2003/04] Compos´e le 11 juin 2008
