Sup PCSI2 — Devoir 2000/09

Sup PCSI2 — Devoir 2000/09

◮E est unK-e.v. de dimension finie n.

Q1 ´Enoncez pr´ecis´ement le th´eor`eme du rang.

◮Dans les deux questions suivantes,g et hsont deux ´el´ements deL(E).

Q2 Prouvez l’´egalit´e dim¡

ker(h◦g)¢−dim¡ kerg¢

= rg(g)−rg(h◦g).

Q3 Notonsγ la restriction deg`a ker(h◦g). Appliquez le th´eor`eme du rang `aγpour ´etablir l’´egalit´e dim¡

g¡

ker(h◦g)¢¢

= rg(g)−rg(h◦g)

◮Soientu,v etwtrois ´el´ements deL(E). Nous voulons ´etablir rg(u◦v) + rg(v◦w)6rg(v) + rg(u◦v◦w).

Q4 Montrez qu’il existe des naturels petq, et une base (e1, . . . , ep+q) de ker(u◦v◦w) tels que (e1, . . . , ep) soit une base de ker(v◦w).

Q5 Montrez que ¡

(v◦w)(ep+1), . . . ,(v◦w)(ep+q)¢

est une famille libre dev¡

ker(u◦v)¢ . Q6 En d´eduire dim¡

ker(u◦v◦w)¢−dim¡

ker(v◦w)¢

6dim¡

ker(u◦v)¢−dim¡ ker(v)¢

. Q7 Et maintenant, concluez !

Q8 Soientf ∈ L(E) et k∈N. ´Etablissez la relation 2 rg(f^k+1)6rg(f^k) + rg(f^k+2).

Q9 Soitf un endomorphisme deR⁷v´erifiant rgf+ rgf²+ rgf³= 12. Quelles sont les valeurs que peut prendre rgf? Vous illustrerez chaque cas par un exemple ; la base canonique deR⁷ sera not´ee (ek)16k67.

[Devoir 2000/09] Compos´e le 10 juin 2008