Sup PCSI2 — Devoir 2005/05
◮NotonsEl’ensemble des fonctions d´efinies surR, de classeC∞et 2π-p´eriodiques. Par exemple, les fonctions sin et cos appartiennent `aE, ainsi que toutes les fonctions constantes.
Q1 Montrez que Eest un s.e.v. deC∞(R).
Q2 Que pensez-vous de l’affirmation suivante : si f appartient `a E, alorsf est born´ee ? Q3 Que pensez-vous de l’affirmation suivante : si f appartient `a E, alorsf est lipschitzienne ? Q4 Soit f ∈ E. Avec un changement de variabletr`es simple, montrez queJ(f, x) =
Z x+2π x
f(t)dt ne d´epend pas dex.
◮Pourf ∈E, nous noteronsµ(f) = 1 2π
Z 2π 0
f(t)dt.
Q5 Montrez que µest une forme lin´eaire deE.
Q6 Quelle est l’image deµ?
Q7 Que pouvez-vous dire du noyau deµ?
◮Nous savons que la d´erivationD : f 7→f′ est un endomorphisme deC∞(R), et que cet endomorphisme est surjectif, mais non injectif.
Q8 Montrez que Eest stable parD.
◮NotonsDb l’endomorphisme deE induit parD.
Q9 Quel est le noyau deDb? Q10 Quelle est l’image deDb?
Q11 Montrez que ker(µ) et ker(D) sont des s.e.v. deb E suppl´ementaires l’un de l’autre.
Q12 Que pouvez-vous dire deµ◦Db?
[Devoir 2005/05] Compos´e le 11 juin 2008
