Sup PCSI2 — Devoir 2002/03
◮Pourn>2, notonsfn : x>07→x3+x2−nx−1.
Q1 Explicitez fn′(x).
Q2 Montrez qu’il existe un et un seul r´eelαn>0 tel quefn′ s’annule en changeant de signe enαn.
Q3 En utilisant l’´equation dontαnest solution, d´eterminez desrationnelsunetvntels quefn(αn) =un+vnαn. Q4 Dressez le tableau des variations defn.
Q5 Montrez que l’´equationfn(x) = 0 poss`ede une et une seule solution, que nous noteronsxn. Q6 Justifiez la majoration xn <√n.
Q7 Quel est le sens de variation de la suite (xn)n>2?
◮Nous allons donner deux preuves diff´erentes du fait que la suite (xn)n>2diverge vers +∞. Q8 M´ethode 1 : comparezxn etαn et concluez.
Q9 M´ethode 2 : supposez que la suite (xn)n>2 est major´ee et mettez en ´evidence une contradiction.
◮Soitλ∈]0,1/2[. Nous allons montrer que l’on axn > nλ APCR.
Q10 Calculez la limite de la suite de terme g´en´eral (xn)2 n .
Q11 En d´eduire un ´equivalentsimple dexn lorsquentend vers l’infini.
Q12 Concluez !
Q13 En manipulant l’´equation qui d´efinitxn, d´eterminez la limite de la suite de terme g´en´eralyn=xn−√ n.
Q14 ´Ecrivez le r´esultat de la question pr´ec´edente sous forme d’un d´eveloppement asymptotique dexn.
[Devoir 2002/03] Compos´e le 11 juin 2008
