Sup PCSI2 — Devoir 1997/02 ◮ Notons f : t 6= 0 7→ ln(1 + t2) t

Sup PCSI2 — Devoir 1997/02

◮Notonsf : t6= 07→ ln(1 +t²)

t .

Q1 Calculez ℓ= lim

t→0f(t).

◮Notonsgle prolongement par continuit´e def:g(t) =f(t) pourt6= 0, etg(0) =ℓ. Clairement,gest continue surR.

Q2 Calculez lim

t→0

g(t)−g(0)

t ;g est-elle d´erivable surRentier ?

Q3 Notonsu: t >07→t²g^′(t). Explicitezu^′(t), puis montrez que l’´equationu(t) = 0 poss`ede, dans l’intervalle R^∗+, une et une seule solution, que nous noteronsα.

Q4 En utilisant une calculatrice, ´evaluezαetg(α).

◮Une calculatrice nous donneα≈1.98 et g(α)≈0.81

Q5 Dressez alors le tableau des variations deg, puis tracez la courbe repr´esentative de cette fonction.

◮NotonsG: x∈R7→

Z x

0

g(t)dt.

Q6 Pourx >0, notonsH(x) = Z x

1

1 t ln³

1 + 1 t²

´dt. Justifiez la relationG(x) =G(1) + ln²(x) +H(x).

Q7 Pourx>1, justifiez l’encadrement 06H(x)6ln(2) ln(x).

◮Si nous demandons `amapled’´evaluerG(1), cet excellent logiciel se lance dans une longue r´eflexion, au terme de laquelle il nous propose la valeur π²

24. Nous allons ´etablir ce r´esultat en toute rigueur, en nous appuyant sur la relation (admise)

nlim→∞

X

16k6n

1 k² = π²

6

Q8 Notonsϕ: t >−17→ln(1 +t). Pourk>1 ett >−1, explicitezϕ^(k)(t).

Q9 Notons Rn : x 7→ g(x)− X

16k6n

(−1)^k−1x^2k−1

k . En utilisant la formule de Taylor avec reste int´egral,

´etablissez pourx >0 la relation suivante :

Rn(x) = 1 x

Z x²

0

(t−x²)ⁿ (1 +t)ⁿ⁺¹dt Q10 Justifiez alors la majoration¯

¯Rn(x)¯

¯6 x²ⁿ⁺¹

n+ 1 pourx >0.

Q11 En d´eduire une majoration deE(x) =

¯

¯

¯

¯

G(x)− X

16k6n

(−1)^k−1x^2k 2k²

¯

¯

¯

¯

, toujours pourx >0.

Q12 Pourn>1, notonsSn= X

16k6n

1

k². Exprimez X

16k62p

(−1)^k−1

k² au moyen de deux termes de la suite (Sn)n>1

Q13 Concluez !

[Devoir 1997/02] Compos´e le 8 mars 2008