Sup PCSI2 — Devoir 1996/06
◮Soit I un intervalle de R. NotonsE l’´equation diff´erentielle y′·ln(y) = 1. Nous dirons qu’une fonction f appartenant `aD(I,R∗+) est une solution surIdeE si elle v´erifief′(x)·ln¡
f(x)¢
= 1 pour toutx∈I.
Q1 Soit f une solution surI deE; montrez qu’une et une seule des deux affirmations suivantes est vraie : (1) pour toutx∈I,f(x)>1
(2) pour toutx∈I, 0< f(x)<1
Q2 Montrez que, sif est une solution surI deE, alorsf ∈ C∞(I,R).
Q3 Soit f une solution surI deE; exprimezf′′ en fonction def uniquement (c’est-`a-dire : sans utiliserf′).
◮Dans toute la suite, nous fixonsx0∈Rety0>1. Nous noterons Il’intervalle [x0,+∞[, et nous admettrons qu’il existe une et une seule solutionf deE surIv´erifiant la condition initialef(x0) =y0.
Q4 D´eterminez le sens de variation de f, ainsi que celui def′. Q5 Justifiez l’existence deℓ= lim
x→+∞f′(x), et pr´ecisez le signe deℓ.
Q6 Montrez que l’hypoth`ese hhf est major´eeii m`ene `a une contradiction. Quelles conclusions pouvez-vous en tirer concernant lim
x→+∞f(x) etℓ?
Q7 Soit ε >0. Justifiez l’existence deAε>x0 tel quef′(t)6ε
2 pour toutt>Aε. Q8 Pourx>Aε, justifiez la majoration :f(x)6εx
2 +f(Aε)−εAε 2 . Q9 Justifiez alors l’existence deBε>x0 tel que f(x)
x 6εpour toutx>Bε. Q10 Quelle conclusion pouvez-vous en tirer concernant la limite de f(x)
x lorsquextend vers +∞? Q11 Que pouvez-vous dire de la branche infinie de la courbe repr´esentative def?
◮On fixex0= 1 ety0= 2. On se propose de tracer approximativement la partie de la courbe repr´esentative def limit´ee aux abscisses comprises entre 1 et 3. Pour ce faire, on va utiliser la m´ethode d’Euler.
◮Fixonsh >0 et notonsxk=x0+kh,yk=f(xk). Clairement : y1=f(x1) =f(x0) +
Z x1
x0
f′(t)dt On d´ecide alors d’approcher
Z x1
x0
f′(t)dtpar Z x1
x0
f′(x0)dt= h
ln(y0) ce qui nous donne une approximation e
y1=y0+ h
ln(y0) dey1. On it`ere ensuite ce proc´ed´e : ayant obtenu une approximationyek deyk, on en d´eduit une approximationygk+1=yek+ h
ln(yek) deyk+1.
Q12 Mettez en œuvre ce proc´ed´e avec h = 0.1 et k ∈ [[1,20]] ; vous pr´esenterez les r´esultats sous forme d’un tableau. Vous effectuerez les calculs avec la pr´ecision de la calculatrice utilis´ee, mais vous ne ferez figurer sur la copie que les deux premi`eres d´ecimales de chaque nombre, arrondi au centi`eme le plus proche.
Q13 Utilisez les calculs pr´ec´edents pour construire la courbe demand´ee. Vous prendrez une unit´e ´egale `a 5 cm.
Q14 On fixe x0 = 1 et y0 = 1/2 ; on admet que, dans ce cas ´egalement, E admet une et une seule solution f sur [x0,+∞[ v´erifiant f(x0) = y0. Appliquez la m´ethode d’Euler pour construire la partie de la courbe repr´esentative def limit´ee aux abscisses comprises entre 1 et 3. Quel ph´enom`ene constatez-vous ?
[Devoir 1996/06] Compos´e le 8 mars 2008
