Sup PCSI2 — Devoir 2002/02
◮Pourn>1, nous noterons Pn: x>07→
2n
X
k=1
(−1)kxk k . Q1 Explicitez P1(x) etP2(x).
Q2 Montrez que Pn(1) est strictement n´egatif.
Q3 Pourx>0, donnez une expressiontr`es simpledePn′(x).
Q4 Quelles sont les variations de Pn sur l’intervalle [0,+∞[ ? Q5 Retrouvez alors le r´esultat de la question 2.
Q6 Pourx>0, justifiez rapidement la relationPn+1(x) =Pn(x) +x2n+1³ x
2n+ 2 − 1 2n+ 1
´. Q7 En d´eduire Pn(2)>0. Dans quel(s) cas a-t-on l’´egalit´e ?
Q8 Montrez que, dans l’intervalle [1,+∞[, l’´equation Pn(x) = 0 poss`ede une et une seule solution, que nous noteronsxn. Vous utiliserez le TVI.
Q9 Justifiez l’encadrement 1< xn 62.
Q10 Pourx>0, montrez quePn(x) = Z x
0
t2n−1 t+ 1 dt.
Q11 En d´eduire la relation Z xn
1
t2n−1 t+ 1 dt=
Z 1
0
1−t2n t+ 1 dt.
Q12 Pourt>1, prouvez l’in´egalit´et2n−1>n(t2−1).
Q13 En d´eduire Z xn
1
t2n−1 t+ 1 dt>n
2(xn−1)2. Q14 Prouvez alors l’encadrement 06xn−16
r2 ln(2) n .
Q15 Et maintenant concluez, pour ce qui concerne la convergence et la limite de la suite (xn)n>1!
[Devoir 2002/02] Compos´e le 11 juin 2008
